Richtungsableitung bestimmen mig R^3 -> R

Question

Bestimmen Sie die Richtungsableitungen von

\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y, z) \mapsto x y^{2}+x^{2} z^{3}-3 y z \)

im Punkt \( (1,2,1) \) in die Richtungen \( \xi_{1}=\frac{1}{\sqrt{17}}(1,0,4) \) und \( \xi_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,1) \)

Answer 1

Richtungsableitung ist das Skalarprodukt aus Gradient und Richtung.

Der Gradient ist der Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen sind.

Die partielle Ableitung ∂f(x,y,z)/∂x von f(x,y,z) = xy²+x²z³-3yz berechnest du wie die Ableitung der Funktionenschar f_y,z(x) = xy²+x²z³-3yz.

Analog berechnest du ∂f(x,y,z)/∂y und ∂f(x,y,z)/∂z. Der Gradient ist dann der Vektor (∂f(x,y,z)/∂x, ∂f(x,y,z)/∂y, ∂f(x,y,z)/∂z)