Berechnen Sie die Richtungsableitung D_{V} f(A) für A, V R^(n x n)

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe identifizieren wir \( \mathbb{R}^{n \times n}=\mathbb{R}^{n^{2}} \). Sei \( k \in \mathbb{N} \) und sei
\( f: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, \quad A \mapsto A^{k} \)
Berechnen Sie die Richtungsableitung \( D_{V} f(A) \) für \( A, V \in \mathbb{R}^{n \times n} \)

Problem/Ansatz:

Gerade verstehe ich nicht wie man daraus die Richtungsableitung berechnen kann. Ich bräuchte noch ein wenig Starthilfe zu dem Problem, ich habe auch nicht ganz verstanden aus der Vorlesung, was der Unterschied zwischen Richtungsableitung und partielle Ableitung ist.

Vielen Dank für die Hilfe im voraus.

Comments

Hallo,

die Aufgabe macht mit Kopfzerbrechen. Erstmal wird "Richtungsableitung" meistens für Funktion verwendet, die in die reellen Zahlen abbilden. Wenn ich mir jetzt für diesen Fall eine Erweiterung o.ä. vorstelle, dann wir die Lösung für beliebige k ziemlich kompliziert.

Vielleicht zitierst Du mal Eure Definition von Richtungsableitung. Dann solltest Du es erstmal mit k=2 versuchen.

Gruß

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52.16 Definition: (Richtungsableitung)
Sei \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) offen, \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) und \( \xi \in D \)
Für einen Vekt or \( v \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( |v|=1 \) heißt
\(. D_{v} f(\xi)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(\xi+h v)-f(\xi)}{h} \)
die Richtungsableitung (Gateaux-Ableitung) von \( f \) in Richtung v

a) Für \( v=e_{1} \) liefert die Richtung sableitung gerade die \( i \) -te partielle Ableitung:
\( D_{e_{i}} f(\xi)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\xi) \)
Dies folgt sofort aus Def. 52.3 und Def. 52.16 .
b) Statt \( D_{v} f \) schreibt \( \mathrm{man} \) oft auch \( \frac{\partial f}{\partial v} \).
c) Die Richtungsableitung \( D_{v} f(\xi) \) beschreibt den Anstieg (die Steigung) von \( f(\xi) \) in der Richtung \( \boldsymbol{v} \)

Gibt es ein einfaches Verfahren, wie man Richtung sableitungen berechnet? Man kann zeigen:


52.18 Satz: (Darst ellung der Richt ungsableit ung dur ch den Gradient en)
Sei \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) offen, \( \xi \in D \) und \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) sei in \( \xi \) stetig differenzierbar. Dann existiert die Richtungsableitung \( D_{v} f \) für jeden Einheit svektor \( v \in \mathbb{R}^{n} \) und es gilt:

\( D_{v} f(\xi)=v^{\top} \nabla f(\xi) \)

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Dies wäre unsere Definition von der Richtungsableitung.

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Hast du mittlerweile ein Lösung? Komme da überhaupt nicht weiter :(

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Was ist das denn für eine Antwort?

Answer 1

Hallo,

die Definition bezieht sich nur auf reellwertige Funktionen. Das ist aber bei der Aufgabe nicht gegeben, also ist die Aufgabe eigentlich nicht korrekt formuliert - falls Ihr nicht später die Definition von Richtungsableitung erweitert habt.

Wenn ich davon mal absehe. Für k=2 wäre wohl folgendes zu tun:

$$ \frac{1}{h}((A+hV)^2-A^2)= \frac{1}{h}(A^2+hAV+hVA+h^2V^2-A^2)$$

$$AV+VA+hV^2 \rightarrow AV+VA$$

Demnach wäre:

$$D_Vf(A)=AV+VA$$

Das Problem ist, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.

Du kannst ja mal den Fall k=3 bearbeiten und daran anschließend eine Vermutung für das allgemeine Ergebnis ableiten.

Gruß