Cauchy Folge mit einer beschränkten teilmenge

Question

kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Ich habe keine Ahnung was ich da machen soll.

Sei D⊂ℝ eine beschränkte Teilmenge. Beweisen sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind,

Für jede Cauchy Folge (a_n) n ∈ ℕ ⊂ D ist (f ( a_n ) ) n∈ℕ eine Cauchy Folge.

Comments

Äquivalent wozu?

---

Also da stehen eigentlich 2 teilaufgaben aber die erste habe ich schon gemacht.

da steht :

Sei D⊂ℝ eine beschränkte Teilmenge. Beweisen sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind :

i) f ist gleichmäßig stetig auf D

ii) Für jede Cauchy Folge (a_n) n ∈ ℕ ⊂ D ist (f ( a_n ) ) n∈ℕ eine Cauchy Folge.

---

Dann erklär mir mal bitte, was du unter "Äquivalenz von Aussagen" verstehst.

---

Also wir hatten Äquivalenz ganz am Anfang mit Wahrheitstafeln. Wenn A => B impliziert muss B => auch A implizieren. Aber im Skript habe ich eine Definition gefunden, aber ehrlich gesagt weiß ich nicht was ich damit anfangen soll.

Fur die Funktion f: D -> K sind folgende Aussagen aquivalent:

1.lim z→a f (z) = f (a)

2. f ist stetig in a

---

Ersteres ist die Definition von Äquivalenz: Zwei Aussagen \(A\) und \(B\) sind äquivalent, d.h. \(A\Leftrightarrow B\), wenn \(A\Rightarrow B\) und \(B\Rightarrow A\). Du musst also immer zwei Richtungen zeigen.

Das zweite, was du aufgeschrieben hast, hat nichts mit der Definition von Äquivalenz zu tun.

Verstehst du jetzt, warum es keinen Sinn macht, bei deiner Aufgabe von zwei Teilaufgaben zu sprechen? Die Aussagen i) und ii) sind Teil derselben Aufgabe! Du musst zeigen: \(i)\Rightarrow ii)\) und \(ii)\Rightarrow i)\).

Du hast oben geschrieben: "aber die erste habe ich schon gemacht."
Was genau hast du da gemacht?

---

also bei i ) habe ich einen widerspruchsbeweis angenommen, also ich habe angenommen, dass f unbeschränkt ist und gleichmäßig stetig.

---

Was soll denn "bei i)" heißen?

Du darfst nicht beide Aussagen einzeln betrachten. (!!!)

---

ich verstehe was du mir sagen willst, oh nein dann hab ich alles umsonst gemacht.kannst du mir weiterhelfen bitte

---

Schreib dir einfach mal die Definitionen auf, was i) und ii) bedeuten und schau dir das mal an. Vielleicht kommst du damit schon weiter.