Gegeben ist ein Dreieck ABC mit AC = b = 15 cm und ∠CBA = β = 45°

Question

Habe hierbei Probleme:

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit AC = b = 15 cm und ∠CBA = β = 45°.

Der Fußpunkt der Höhe zur Seite AB = c sei der Punkt D. Er liegt zwischen den Punkten A und B.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC für den Fall, dass die Strecke AD = x um 3 cm länger als die Höhe DC = h_c ist.

Answer 1

durch den Fußpunkt erhält man ein rechtwinkliges Teildreieck für das gilt:

15² = (x+3)²+x²       Nun x berechnen mit Hilfe des Pythagoras

 nur das positive Ergebnis verwenden  x= 9    bedeutet  h= 9cm   und AD= 12

nun den Sinussatz anwenden

9/sin45° = DB /sin45°     DB = 9         Das Dreieck DBC ist ein gleichschenkliges Dreieck

c= 12+9    = 21 

A= 1/2* 9*21  =94,5 cm²

Comments

Vorsicht, das x in der Gleichung oben ist nicht das x (Strecke AD) aus der Aufgabe. Verwechslungsgefahr.

Daher Vorschlag (nur Skizze): 

~draw~ dreieck(0|0 2.5|3.5 6|0)#;strecke(0|0 3|3);text(-0.3|-0.3 "C");text(6.3|-0.3 "A");text(3|3.3 "D");text(2.5|3.8 "B");text(2.8|-0.3 "b");text(2.3|2 "h"){3A0};text(4.4|1.8 "x"){F00};zoom(6);aus ~draw~

Durch den Fußpunkt D erhält man ein rechtwinkliges Teildreieck ADC für das der Satz des Pythagoras gilt:

AC² = AD² + DC²  | bzw. 

b² = x² + hc² | x = hc+3

15² = (h_c+3)² + h_c² 

Nun hc berechnen: 

15² = h² + 6h + 9 + h²

225 = 2•h² + 6h + 9 

0 = 2•h² + 6h - 216

h₁ = 9 cm

h₂ = -12 cm

Nur das positive Ergebnis verwenden  hc = 9 cm.

Bedeutet hc = 9 cm und AD = 9 cm + 3 cm = 12 cm.