Gegeben sind die Punkte R(4 | 3 | 4), S(8 | 9 | 8) und Q(2 | 3 | 6).
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch R und S, die Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenbenen und die Gleichung ihrer Projektion g' in die x-y-Ebene.
g: [4, 3, 4] + r * ([8, 9, 8] - [4, 3, 4]) = [4, 3, 4] + r * [4, 6, 4]
g': [4, 3, 0] + r * [4, 6, 0]
[4, 3, 4] + r * [4, 6, 4] = [x, y, 0] → r = -1 ∧ x = 0 ∧ y = -3 → [0, -3, 0]
[4, 3, 4] + r * [4, 6, 4] = [x, 0, z] → r = - 1/2 ∧ x = 2 ∧ z = 2 → [2, 0, 2]
[4, 3, 4] + r * [4, 6, 4] = [0, y, z] → r = -1 ∧ y = -3 ∧ z = 0 → [0, -3, 0]
b) Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Geraden g gegen die x-y-Ebene.
arcsin([4, 6, 4]*[0, 0, 1]/(|[4, 6, 4]|*|[0, 0, 1]|)) = 29.02°
c) Fällen Sie von Q das Lot auf g und ermitteln Sie die Koordinaten des Lotfusspunktes L und die Länge des Lotes QL.
([2, 3, 6] - [4, 3, 4])·[4, 6, 4]/([4, 6, 4]·[4, 6, 4]) = 0
Damit ist R der Lotfußpunkt.
|LQ| = |[2, 3, 6] - [4, 3, 4]| = 2·√2
d) Wie heißt die Gleichung der Ebene durch R, die auf g senkrecht steht? In Welchen Punkten wird sie von den Koordinatenachsen geschnitten?
[x, y, z] * [2, 3, 2] = [4, 3, 4] * [2, 3, 2]
2x + 3y + 2z = 25
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
[0, 0, 25/2], [0, 25/3, 0] und [25/2, 0, 0]