Taylorentwicklung cos(x^2)

Question

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: 

In Teil a sollte ich das Taylorpolynom der 2. Stufe am

Entwicklungspunkt x₀=sqrt(pi/2)

von h:R->R             x -> cos(x^2)               entwickeln.

Als Ergebnis habe ich folgende Taylorreihe: T₂(h,x,x₀)=.........=

Das sollte stimmen (hoffe ich ;-))..

 

in Teilaufgabe b soll ich nun eine reelle Zahl a finden, dass

abs(h(x)-T₂(h,x,x₀))=<a*abs(x-x₀)³         ( x € [0,2] )

Meine Überlegung ist, beide Seiten durch abs(x-x₀)³ zu teilen. 

Danach würde die Ungleichung so aussehen:

(abs(h(x)-T₂(h,x,x₀)))) / (abs(x-x₀)³) =<a

a muss somit also mindestens = der linken Seite sein. 

 

Ich habe mir das Ganze folgendermaßen gedacht.

 

Kann ich die Aufgabe so lösen??, oder sollte man das doch lieber anders machen.

 

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hi Mü,

Deine Taylorreihe ist korrekt. Hab ich auch ;).


Zur Aufgabe b).

Habe es letztlich nicht nachgerechnet, beim Weg sehe ich aber kein Problem.


Grüße

Comments

Alles klar, klasse.  :-D

Dann rechne ich sicherheitshalber nochmals nach.

Meine größte Sorge war, das der Weg so nicht wirklich zulässig ist.


Dankeschön !!!

---

Mir fällt gerade auf, dass man für x=x₀ das ganze gesondert betrachten müsste. Ergibt sich aber keine größere Problemstelle soweit ich das überblicke ;).

---

Ja, stimmt.

für den Fall wäre mein f(x) ja nicht definiert. 

Habe einfach durch Multiplikation den Nenner auf die andere Seite gebracht (wie es ursprünglich war) und den Fall berechnet. Als Kontrolle für die Lücke. - sollte passen :)

Nur leider komme ich bei dem c) auf keine Idee. 

es soll ja ein a_k gefunden werden mit dem man  die Summe von n=0 bis oo  (a_kx^k=cos(x²)) ausdrücken kann. Für einen kleinen Tipp wär ich da ziemlich dankbar. 

---

Hast Du mir mal die Aufgabe c? Im Wortlaut bitte ;).

---

Ein kleiner Tipp, oder besser gesagt Denkanstoß. (Irgendein verfahren oder ähnliches.)

Meine bisherigen Überlegungen:

Ich habe (ich meine im Repetitorium) die Potenzreihe für cos(x) gefunden.

Würde es sich bei der Aufgabe um cos(x)^2 handeln könnte ich das ja verwenden und in das Quadrat nehmen.

aber so drehe ich mich im Kreis und komme zu keinen brauchbaren Ergebnissen.

---

Hast Du mir mal die Aufgabe?^^

Ich weiß nicht um welche Summe es geht :P.

---

Wenn ich das richtig verstehe willst du die Reihe für die gilt sum(k=0 bis unendlich) a_k*x_k=cos(x^2).

Wenn mich jetzt nicht alles täuscht ist das doch einfach die Tayloreihe von cos(x^2) um 0 entwickelt...?

---

Also, hier mal das was ich mir so gedacht habe. Wobei das wahrscheinlich, wie oben erwähnt nichts wert ist.

Ich hatte mir gedacht in den ersten paar Ableitungen des Taylorpolynoms ein Muster zu finden. Aber ich finde dazu nichts. Stimmt wenigstens die Richtung? Muss ich a_k aus dem Aufgestellten Taylorpolynom "sehen"?

 

---

Ah, ist der Entwicklungspunkt = dem Startpunkt von k, hier also=0?

Das würde das Taylorpolynom natürlich deutlich einfacher machen, da einige Teile (sin) herausfallen würden.

---

Yup sehe ich auch so.
Danke "Anonym", jetzt habe ich auch die Fragestellung verstanden ;).


Dann sollte sich das sogar drastisch vereinfachen.


Dann kann ich ja nun beruhigten Gewissens gehen.


Grüße

---

Oh stimmt, du hattest ja noch die fragestellung gebraucht.

Sorry ^^.
Aber danke, ich denke jetzt kann ich doch noch das eine oder andere Probieren!

---

Da fällt noch einiges weg weil die Formel für die Taylorreihe ist ja:

sum(k=0, unendlich) f^{k}(x_0)/k! (x-x_0)^k.

also musst du in deinen Ableitungstermen immer x=0 einsetzen:

f^{0}(x_0)=cos(x_0^2)=1

f^{1}(x_0)=-2*x_0sin(x_0^2)=0

f^{2}(x_0)=-4*x_0^2*cos(x_0^2)-2*sin(x_0^2)=0

f^{3}(x_0)=8*x_0^3*sin(x_0^2)-8*x_0^3*cos(x_0^2)-2*x_0*cos(x_0^2)=0

f^{4}(x_0)=24*x_0^2*sin(x_0^2)+16*x_0^4*cos(x_0^2)-16*x_0^2*cos(x_0^2)+16*x_0^4*sin(x_0)^2+2*x_0^2*sin(x_0)^2-2*cos(x_0^2)=2

Ich hoffe ich habe mic jetzt nicht verrechnet....

---

Okay das habe ich mal nachgerechnet. Die 4. Ableitung stimmt nicht ganz. da kommt -12 raus..

Habe das dann noch weiter geführt bis zur 8. Ableitung, welche 1680 ist. um vielleicht irgendwie ein Muster zu sehen. Aber ich sehe da nichts.

Also soweit ist mir das schon klar, aber ich bekomme den nächsten schritt nicht hin.

---

Ok andere Idee: Nimm die Reihe vom Cosinus und setze x^2 anstatt x ein:

also sum(k=0, unendlich) (-1)^k/(2k)!*(x^2)^2k= (-1)^k/(2k)!*x^{4k}

das passt eigentlich oder? Auch mit der Reihe die wir bisher aus der Taylorreihe haben....

---

oh man, ja das stimmt ja wirklich.
Gibt es dafür auch noch andere Wege oder muss man das "sehen" ?

Danke für die Hilfe