Integralrechnung: ∫^a_(-a) (-2x^3 + 8x) dx = 0 für alle a>0 begründen.

Question

- Übung zur Klausur, bitte helft mir!

Hier die Aufgabe:

Begründen Sie:

∫ ^a_-a  (-2x^3 + 8x) dx = 0 für alle a>0

Vielen Dank schonma im Voraus :)

Answer 1

Beachte die Symmerie sowohl des Integranden als auch des Integrationsintervalls!

Comments

Jaa, also, wir haben ja auch die Lösungen: wegen der Punktsymmetrie..

Aber ich versteh nicht was  zb: a>0 bedeuten soll und wie man rechnen muss um zur Antwort zu gelangen (falls man überhaupt was rechnen muss)

Würdest du mirs vielleicht für 'dumme' ???

10000 Dank!

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Hm... den Hinweis "für alle \(a>0\)" könnte man auch weglassen, die Aussage würde trotzdem gelten. Rechnen muss man da eigentlich nichts. Und wenn man es doch nachrechnen möchte, kommt halt 0 raus. Das entscheidende Argument, um ohne Rechnung auszukommen, liegt eben in der Tat in der Symmetrie des Intregranden zum Ursprung und in der geichzeitigen Symmetrie des Integrationsintervalls zur Stelle \(x=0\) begründet.

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Ok des hab ich verstanden, danke. Und noch eine Frage, wie erkenne ich denn eine Punkt- oder Achsensymmetrie noch gleich?

Du bist echt meine Rettung!

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Zum Beispiel die, wie bestimme ich die Gleichung geometrisch?

∫ ^a₀ (-2x^3+8x) dx

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Zum Beispiel die, wie bestimme ich die Gleichung geometrisch?
∫ ^a₀ (-2x³+8x) dx

Was meinst du mit geometrisch ?

Stammfunktion
-2*x^4 / 4 + 8 * x^2 / 2
-1/2 * x^4 + 4 * x^2

F ( x ) = [ -1/2 * x^4 + 4 * x^2] ₀^a

F ( x ) = -1/2 * a^4 + 4 * a^2

Ansonsten
Funktionen 2.Grades sind immer achsensymmetrisch zum Scheitelpunkt
( genauer  zur verschobene y-Achse beim Scheitelpunkt )
Funktionen 3.Grades sind punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

~plot~ x^2 + 3*x + 4 ; -2*x^3 + 8*x ; [[ -8 | 8 | -10 | 10 ]] ~plot~

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Zitat: Und noch eine Frage, wie erkenne ich denn eine Punkt- oder Achsensymmetrie noch gleich?

Ist \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x\in\text{D}_f\), ist f symmetrisch zur y-Achse,

ist \(-f(-x) = f(x)\) für alle \(x\in\text{D}_f\), ist f symmetrisch zum Ursprung.

Bei ganzrationalen Funktionen in Polynomdarstellung ist das jeweils genau dann der Fall, wenn die Summanden des Polynoms nur Potenzen von \(x\) mit geraden bzw. ungeraden Exponenten aufweisen.

So finden sich im vorgelegten Integranden nur die Exponenten 3 und 1, er ist also symmetrisch zum Ursprung.

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Zitat: ...wie bestimme ich die Gleichheit geometrisch?

Hier mal der Integrand (blau) in graphischer Darstellung, zusammen mit den Intervallgrenzen für \(a=2.2\) als Grenzlinien \(x=-a\) (rot) und \(x=a\) (grün). Die Flächen zwischen Funktionsgraph, x-Achse, y-Achse und linker Grenzlinie sind (gegensinnig) kongruent zu den entsprechenden Flächen auf der rechten Seite.

~plot~ -2x^3+8x;x=-2.2;x=2.2;[[-3|3|-7|7]] ~plot~