Exponentialfunktion Extrema

Question

Wie komme ich auf den Extrempunkt und auf die Wendepunkte  der Funktion:  ƒ(t)= 50t•e^-2t  ƒ'(t)= e^-2t•(50-100t) Ist die Ableitung richtig?
Ich muss für den Extrempunkt die Ableitung der Funktion gleich null setzen  und nach t auflösen ..  Nur weiß ich nicht, wie ich t auf eine Seite kriege .. Und auch bei den Wendepunkten habe ich keine Ahnung  ..
Vielleicht kann mir jemand das ausführlich aufschreiben damit ich es Schritt für Schritt verstehe  Danke schonmal 

Comments

Beachte hierbei den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt wird Null, wenn einer seiner Faktoren null ist.

Answer 1

Die 1. Ableitung ist ok, setze den Faktor 50-100*t gleich Null

die 2. Ableitung ist auch noch nötig für den Wendepunkt

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Wie muss ich bei den Wendepunkten vorgehen?

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Kommst du klar, so mit der zweiten Ableitung und so?

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Die zweite Ableitung ist demnach doch:

  ƒ''(t)= -2e^-2t•(50-100t) + e^-2t •(-100)

Oder? 

Ich weiß nur nicht wie ich jetzt umstellen soll ..

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So wie eben, erzeuge ein Produkt. Am besten klammerst du e^-2t aus.

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Indem ich ln benutze?

Answer 2

e^-2t•(50-100t) = 0   |   e^{-2t} > 0 [immer] 

                              | : e^{-2t} 

50 - 100t = 0

==> t = 1/2.

Die Ableitung kannst du doch bei Wolframalpha wunderbar kontrollieren. 

Stammfunktion(en) ansehen bei: https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-2t%29*%2850-100t%29 

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Und wie kriege ich die Wendepunkte raus?

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Dafür musst du die zweite Ableitung bilden und Null setzen.

Answer 3

f '' (x)  =  200·e^-2t · (t - 1)  = 0   →  t =1

f '' hat bei t = 1 einen Vorzeichenwechsel  →  Wendestelle

f(1) = 50 / e² ≈ 6.766764161

W( 1 | 6.77)

Gruß Wolfgang

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Vielen lieben Dank! Nur... ƒ''(t)= -2e^-2t•(50-100t) + e^-2t •(-100)
Wie hast du das zusammengefasst, so dass (t-1) da steht?

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ƒ''(t)= -2e^-2t•(50-100t) + e^-2t •(-100)

   = e^-2t * (-100) + e^-2t * 200t - e^-2t * 100

   = e^-2t *(-100-100) + e^-2t * 200t

   = e^-2t * (-200) + e^-2t * 200t

   = e^-2t * (200t-200)

   = 200 * e^-2t * ( t-1)

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Alles klar vielen lieben Dank!!