Grenzwert mit Betrag berechnen: limx→3 (x^2-9)/Ix-3I

Question

Wie berechne ich den Grenzwert?

lim_x→3 (x^2-9)/Ix-3I

Ix-3I= -x+3 für x<3 und Ix-3I= x-3 für x≥3

1.Fall oder linksseitig x<3

lim_x→3 (x^2-9)/ (3-x) =  lim_x→3 (x-3)(x+3))/ (3-x)= lim_x→3(-1)(-x+3)(x+3)/ (3-x)= lim_x→3 -x-3=-3-3=-6

2.Fall rechtsseitig x≥3

lim_x→3 (x^2-9)/ (x-3) =  lim_x→3 (x-3)(x+3))/ (x-3)= lim_x→3 x+3 = 6

-6 ist ungleich 6 und somit existiert kein Grenzwert

Ergibt das mit dem linksseitig und rechtsseitig Sinn?

Answer 1

deine Überlegungen sind richtig bis auf:

>   Ix-3I = -x+3 für x<0 und Ix-3I= x-3 für x≥0     f

Ix-3I= -x+3 für x < 3 und Ix-3I= x-3 für  x ≥ 3

Das Vorzeichen des Terms im Betrag ist wichtig!

Gruß Wolfgang

Comments

oh, habe es direkt bearbeitet und ansonsten stimmt meine Rechnung tatsächlich? Das mit dem rechtsseitig und linksseitig wirkt irgendwie falsch?

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wie gesagt, der Weg ist richtig.

Answer 2

-6 ist ungleich 6 und somit existiert kein Grenzwert

Ergibt das mit dem linksseitig und rechtsseitig Sinn?
lim_x→3 (x²-9)/Ix-3I

Ja.

Im Nenner steht durch das abs ( ) für beide Fälle dasselbe.

Im Zähler ist
lim x −>  3(-)  [  x^2 - 9 ] eine negative 0  z.B. 2.99^2 - 9 = -0.0599
bei
lim x −>  3(+)  [  x^2 - 9 ] eine positive 0  z.B. 3.01^2 - 9 = +0.0601

Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind also verschieden.

~plot~ ( x^2 - 9 ) / abs( x- 3 ) ; [[ -5 | 10 | -7 | 15 ]] ~plot~