überprüfen ob, Abbildungen linear sind. Bsp. f(x|y):= (x|x+y).

Question

kann mir einer sagen wie man dieses zu berechnen hat?

Vielen Dank

Comments

b) Gegenbeispiel basteln.

f(0,0,0) = 1 ≠ 0

==> b) ist nicht linear.

Answer 1

du musst jeweils überprüfen, ob

f ( α•\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\))   =   α • f (\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\))      und   

  f (\( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}\))   =  f (\( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\))  +  f (\( \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}\)) gilt.

Also ob

f (\( \begin{pmatrix} α·x \\ α·y \end{pmatrix}\))   =   α • f (\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\))      und   

f ( \( \begin{pmatrix} x_1 + x_2\\ y_1+ y_2 \end{pmatrix}\))   =  f (\( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\))  +  f (\( \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}\)) gilt.

Dazu musst du jeweils die Koordinaten der beiden letzten Gleichungen in die jeweilige Abbildungsvorschrift einsetzen.

Gruß Wolfgang

Comments

und was muss ich dafür einsetzten?

---

Bei a) ist zum Beispiel

f (\( \begin{pmatrix} α·x \\ α·y \end{pmatrix}\))  =  \( \begin{pmatrix} α·x \\ α·x + α·y \end{pmatrix}\)

α • f (\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) )   = α • \( \begin{pmatrix} x \\ x + y \end{pmatrix}\)

Wenn du die einfachsten Regeln der Vektorrechnung anwendest, erkennst du, dass beides übereinstimmt.

Answer 2

Gegenbeispiel für d)

f (1 | 0|0) = (0 | 1)

f( - 2 | 0 | 0) = ( 0| 2) ≠ (-2)*(0|1) = (0 | -2)

q.e.d.