Für jedes \( n\in\mathbb{N} \) sei \( A_n = (a_{n,i})_{i\in\mathbb{N}}\) eine konvergente Folge. Die Grenzwerte der Folgen seien paarweise verschieden.
Die Folgenglieder dieser Folgen werden wie folgt angeordnet:
\( \begin{array}{ccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & \dots\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} & \dots\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & \dots\\ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \)
Zeile \( m \) stellt also die Folge \( A_m \) dar. Aus dieser Darstellung wird eine neue Folge \( A \) konstruiert:
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Erstes Folgenglied von \( A \) ist der Eintrag \( a_{p,q} \) mit \( p+q=2 \), also \( a_{1,1} \).
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Dann kommen die Einträge \( a_{p,q} \) mit \( p+q=3 \), also \( a_{2,1}, a_{1,2} \).
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Dann die Einträge \( a_{p,q} \) mit \( p+q=4 \), also \( a_{3,1}, a_{2,2}, a_{1,3} \).
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Dann die \( a_{p,q} \) mit \( p+q=5 \), also \( a_{4,1}, a_{3,2}, a_{2,3}, a_{1,4} \).
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Und so weiter.
Die Folge \( A \) hat alle Grenzwerte der Folgen \( A_n \) als Häufungspunkte.
