wie erstelle ich die Hesse Matrix ohne die partiellen Ableitungen zu berechnen?

Question

Kann mir jemand sagen wie man die Hessematrix erstellen kann ohne die partiellen Ableitungen explizit zu berechnen?

Eventuell hätte ich die Idee mit Taylorformel. Allerdings brauche ich da auch die Ableitungen. :/

Vielleicht auch hier ein Beispiel.:

f (x, y)=x^3+y^3

Comments

Wie kommst du auf den ungewöhnlichen Wunsch, das zu tun?

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Vielleicht wäre es besser ,den Hintergrund dieser Frage zu erläutern.

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Gehört zu einer Übungsaufgabe, die wir machen dürfen

Answer 1

Bei Polynomen kann man die Taylorentwicklung um einen Punkt (x₀, y₀) per Algebra ausrechnen. Im Beispiel:

x³ +y³ = (x₀+(x-x₀))³ + (y₀+(y-y₀))³ = ...

Die Hesse-Matrix bastelt man dann mit den Termen zweiter Ordnung zusammen.

Comments

Danke.

Wie setzt sich die zweite Ordnung denn zusammen?

Brauche ich dafür die erste Ableitung?

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Fuelle doch erstmal die ... aus. Dafuer werden keine Ableitungen gebraucht, nur elementare Algebra.

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Das ist doch an sich nur;

X0^3 +3x0^2 (x-x0)+3x0 (x-x0)^2+(x-x0)^3

Und entsprechend für y

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Ja und? Was hast Du erwartet? Schreibe es anstaendig auf und vergleiche mit $$f(\mathfrak{x})=f(\mathfrak{x}_0)+\nabla f(\mathfrak{x}_0)(\mathfrak{x}-\mathfrak{x}_0)+\frac{1}{2}(\mathfrak{x}-\mathfrak{x}_0)^T H_f(\mathfrak{x}_0)(\mathfrak{x}-\mathfrak{x}_0)+\cdots.$$ Dann kannst Du die Hessematrix direkt angeben, ohne eine Ableitung ausgerechnet zu haben. Wolltest Du das nicht?

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Ausgeschrieben -xx0^2+x^3+x0^2

Falls ich mich nicht verrechnet habe

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Und was soll das jetzt sein? -xx0²+x³+x0²?

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Nix brauchbares für die Aufgabe. .. aber wennich jetzt sortiere ist doch f (a)=x0^3+y0^3

Fx (a)(x-a1)=3x0^2 (x-x0)

Fy (a)(y-a2)=3y0^2 (y-y0)

Mit meinem punkt abgekürzt zu a

Und der Rest gehört zur hessematrix?

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Übrig bliebe noch 3x0 (x-x0)^2+(x-x0)^3 und 3y0 (y-y0)^2+(y-y0)^3

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Zur Hessematrix gehoeren die Glieder zweiter Ordnung (bzw. ihre Koeffizienten). Das sind die, die (x-x₀)², (y-y₀)² und (x-x₀)(y-y₀) [letzteres kommt hier nicht vor] enthalten. Schreibe die als quadratische Form auf, dann kannst Du mit der allgemeinen Formel vergleichen und H_f direkt angeben.

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Sind das nicht: 3x0 (x-x0)^2 und 3y0 (y-y0)^2

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Also

6x  0

0  6y

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Wie sähe das denn bei der Funktion

f (x, y)=2x+y-xy+x^3 aus?

Wäre das dann:

2 (x0+(x-x0))+(y+(y-y0))-(x0+(x-x0))(y0+(y-y0))+(x0+(x-x0))^3

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Und somit 2x0+2 (x-x0)+y0+(y-y0)-x0y0-x0 (y-y0)-y0 (x-x0)-(x-x0)(y-y0)+x0^3+3x0^2 (x-x0)+3x0 (x-x0) ^2+(x-x0)^3

Allerdings habe ich mal zur Kontrolle die Ableitung gebildet und mir fehlt der Term für Fxy=Fyx=-1

Oder ich sehe ihn gerade nicht

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Ok. Erfolgreich verdrängt gehabt

-(x-x0)(y-y0)

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Also

6x  -1

-1  0

Vielen Dank für Deine Hilfe. Jetzt seh ich ein, was ich da tue. :-D