Konvergenz Epsilon Beweis

Question

Ich habe die folgende Aufgabe:

Meinen Ansatz seht ihr oben, ich habe auch schonmal ein wenig umgeformt, aber jetzt stehe ich ein wenig auf dem Schlauch,...

Muss ich jetzt "einfach" nach n auflösen?

Answer 1

Löse mal nach n auf. Vielleicht kannst du dann besser beurteilen ob das sinnvoll ist.

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kommt mir nicht besonders sinnvoll vor. Ich hab ehrlicherweise auf eine genaue Erklärung gehofft, wie ich weiter vorgehen muss.

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Die Ungleichung \(\frac{1}{n+1}<\epsilon\) ist eine Wunschungleichung: Sie soll für alle grossen \(n\) gelten, egal wie (klein) man \(\epsilon>0\) gewaehlt hat. Dass dieser Wunsch tatsaechlich in Erfuellung geht, ist zu zeigen. Dazu erstmal nach \(n\) aufzuloesen ist eine gute Idee.

Answer 2

 

du willst zeigen, dass es für jedes ε ∈ ℝ⁺  eine Zahl  N(ε) ∈ ℝ⁺ gibt,  so dass für alle größeren Zahlen n∈ℕ  gilt:

\(\frac{1}{n+1}\) < ε        ⇔ 1 < ∈ • (n+1)  ⇔  n+1 > 1/ε     ⇔ n > 1/ε -1 

 Für ein beliebiges  ε  ist also   N(ε) :=   1/ε -1  eine solche Zahl.

Gruß Wolfgang

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Danke, das sieht doch schnon mal sehr hilfreich aus -

Ich habe jetzt noch von einem n0 > n gelesen. Was hat es damit auf sich? Wie kann ich das hier anwenden?

LG

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vermutlich hast du n > n0 gelesen. das heißt:

Für alle n, die größer als no sind, gilt die Sache.

und dieses no ist das, was oben N(epsilon) heißt.

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Ahh,...Ok.Ich habe gerade von einem Kommilitonen erfahren, dass im Tutorium gesagt wurde, dass    n0 > 1/Epsilon ist.
Wie kann das denn sein? Oben bei Wolfgang stand doch 1/Epsilon -1 als Lösung. Das verwirrt mich jetzt irgendwie total,...

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wenn no > 1/eps ist, dann ist es ja auch größer als 1/eps - 1 .

Es kommt auf den genauen Wert nicht so an, kommt immer darauf an, wie man es abschätzt.

Mit deinem Ansatz hättest du ja auch so weitermachen können:

1/(n+1) < 1/n   und wenn ich jetzt n so wähle, das 1/n < eps ,

dann ist auch 1/n+1 < eps.   Und  1/n < eps gilt jedenfalls  für n > 1/eps.

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Jetzt hab ich's verstanden!