3 Pumpen füllen ein Wasserbecken

Question

"Eine Pumpe A füllt ein Becken in 240 Stunden, eine Pumpe B füllt das gleiche Becken in 300 Stunden, eine Pumpe C füllt das gleiche Becken in 330 Stunden. Welche Füllzeit wird benötigt, wenn alle Pumpen gleichzeitig loslaufen?"

(A) etwa 120 Std

(B) etwa 95 Std (richtige Antwort)

(C) etwa 115 Std

(D) etwa 88 Std

(E) etwa 102 Std

ich habe große Probleme den uns gegebenen (richtigen) Lösungweg der Musterlösung zu verstehen. Könnte mir denn jemand Schritt-für Schritt erläutern ? Bitte keinen alternativen Weg zu der Aufgabe zeigen... da ich 2 Alternativen habe, welche aber zeitaufwendiger als die Musterlösung sind. Deshalb mein Interesse diese Aufgabe so zu lösen, wie es in der Musterlösung gezeigt ist.

Musterlösung :

Pumpe C füllt in 1 Stunde 1/330stel des Beckens.

Pumpe A ungefähr 1,4/330stel (da 330/240 ungefähr 1,4)

Pumpe B füllt in 1 Stunde 1,1/330stel des Beckens.

Alle zusammen füllen in einer Stunde also 3,5/330stel des Beckens.

330 geteilt durch 3,5 ergibt ungefähr 95 Stunden.

Vielen lieben Dank schonmal:)

Answer 1

"Eine Pumpe A füllt ein Becken in 240 Stunden, eine Pumpe B füllt das gleiche Becken in 300 Stunden, eine Pumpe C füllt das gleiche Becken in 330 Stunden. Welche Füllzeit wird benötigt, wenn alle Pumpen gleichzeitig loslaufen?"

Das Rechenschema was dahinter steckt ist folgendes

1 / (1/240 + 1/300 + 1/330) = 13200/139 = 94.96

Darfst du einen Taschenrechner benutzen ist das nur einzutippen und abzulesen.

Darf kein Taschenrechner benutzt werden ist zuerst der Hauptnenner zu finden um die Brüche addieren zu können.

Comments

danke für die Antwort. Selbiger Lösungsweg war meine Idee. Leider darf ich keinen Taschenrechner verwenden... auch die Zeit um den kgV zu finden  ist zu knapp bemessen bei der Aufgabe. Der "schnellste" Weg ist der der in der Musterlösung angegeben ist, leider komme ich aber mit den Ausdrücken "1,4","3,5" etc. nicht zurecht.

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Wie wäre es mit einer Abschätzung. Du brauchst ja nur 2 wesentliche Ziffern

1/240 + 1/300 + 1/330

= (1000/240 + 1000/300 + 1000/330) / 1000

= (4.2 + 3.3 + 3.0) / 1000

= (10.5) / 1000

Davon brauchst du jetzt den Kehrwert

1000 / 10.5 = 10000 / 105 = 95

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Die Variante klingt super und effizient . Danke :)

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1/240 + 1/300 + 1/330 

= 1/(30*8) + 1/(30*10) + 1/(30*11)

Wir erwetern die Brüche auf 30 * 11

= (11/8)/(30*11) + (11/10)/(30*11) + 1/(30*11)

= (1.375)/(30*11) + (1.1)/(30*11) + 1/(30*11)

= (1.4)/(30*11) + (1.1)/(30*11) + 1/(30*11)

= 3.5 / (30*11)

Auch davon kann man leicht den Kehrwert nehmen

330 / 3.5 = 94.2[8]

Auf diesem Weg hat das der Prof. vorgemacht. Eigentlich ist es egal welchen weg du persönlich wählst. Sollte einem die Faktorzerlegung nicht so gefallen kann man prima mit Dezimalzahlen rechnen.

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EIne Frage hätte ihc noch zu diesem Weg von dir :

Wie wäre es mit einer Abschätzung. Du brauchst ja nur 2 wesentliche Ziffern

1/240 + 1/300 + 1/330 

= (1000/240 + 1000/300 + 1000/330) / 1000

= (4.2 + 3.3 + 3.0) / 1000

= ...

Warum wählst du gerade 1000 und schreibst dann 1000/240; 1000/300; ... ?

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Ich erweitere mit einer Zehnerpotenz, sodass ich alles unechte Brüche haben die zumindest >= 1 sind.

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Achso... stimmt .. macht ja auch Sinn wenn man 1000/240 schreibt um Dezimalzahlen zu erhalten die man einfacher addieren kann . DAAANKE :)

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Ich bin gerade dabei, das Rechenschema dahinter zu verstehen. Es wurde noch nicht hinreichend erläutert.

1 / (1/240 + 1/300 + 1/330)

1. Erste Überlegung: Die Pumpen haben unterschiedliche Leistungen, da sie verschiedene Zeiten benötigen.
2. Wir wollen wissen, wie lange alle zusammen benötigen. Wir können jedoch nicht alle Stunden addieren. Hingegen haben wir 1 Becken, das geleert wird. Hierzu verwendet man: 1 / Zeit.

Grundsätzlich: 1 / Zeit steht für die Leerung des Gesamtbeckens? Also 100% / x?

Als nächstes "addieren" wir 3 Becken und bringen die Abpumpleistungen ins Verhältnis... hier sehe ich jedoch noch nicht die Verbindung zur obigen Formel.

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Die Zeiten der Pumpen für das Befüllen eines Beckens waren gegeben:

240, 300 und 330 Stunden pro Becken

Die Zeiten dürfen wir nicht addieren wohl aber die Leistungen

Also

1/240 + 1/300 + 1/330 = 139/13200 = 0.01053030303 Becken pro Stunde

Wenn man davon wieder den Kehrwert nimmt hat man die Zeit pro Becken. Also die Zeit die das Befüllen eines Beckens braucht.

1/0.01053030303 = 94.96402877 Stunden pro Becken

Ist das so etwas klarer?

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Super, dankeschön!

Hier die Zusammenfassung:

1. Erste Überlegung: Die Pumpen haben unterschiedliche Leistungen, da sie verschiedene Zeiten benötigen.
2. Wir wollen wissen, wie lange alle zusammen benötigen. Wir können jedoch nicht alle Stunden addieren. Hingegen haben wir 1 Becken, das geleert wird. Diese Leistung halten wir fest: 1 Becken / x Stunden
3. Nun addieren wir die Leistungen:

$$ \frac{1}{240} + \frac{1}{300} + \frac{1}{330} = \frac{139}{13200} \text{ Becken pro Stunde } ≈ 0,010530 \text{ Becken pro Stunde } $$

Jetzt berechnen wir die Zeit, indem wir das Becken durch diesen Wert (Leistung von 3 Pumpen) dividieren:

$$ 1 \text{ Becken } : \frac{139}{13200} \text{ Becken pro Stunde } = 94,964… ≈ 95 \text{ Stunden } $$

Answer 2

Das Ergebnis lässt sich exakt oder beliebig genau über den Reziprokenterm berechnen.$$ (1)\quad\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 240 } + \frac { 1 }{ 300 } + \frac { 1 }{ 330 } } \approx 95.0 $$

Taschenrechner besitzen dazu seit jeher eine entsprechende Funktion, meist über die Taste [1/x] erreichbar. Ein Taschenrechner soll aber nicht benutzt werden und das Ergebnis muss auch nicht exakt, sondern nur hinreichend genau sein, um das richtige Ergebnis in der Angabe zu identifizieren.

Die Musterlösung besteht im wesentlichen darin, alle Pumpleistungen auf die Leistung der Pumpe C zu beziehen. Rechnerisch ist das gleichbedeutend damit, den Term aus (1) mit 330 zu erweitern und dann geeignet abzuschätzen: $$ (2)\quad\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 240 } + \frac { 1 }{ 300 } + \frac { 1 }{ 330 } } \cdot \frac { 330 }{ 330 } = \frac { 330 }{ \frac { 11 }{ 8 } + \frac { 11 }{ 10 } + 1 } \gt \frac { 330 }{ 1.4 + 1.1 + 1 } = \frac { 330 }{ 3.5 } \approx 94.3 $$Dieser Erweiterungsvorgang ist allerdings völlig willkürlich und daher sind viele andere Rechenwege mit anderen Erweiterungszahlen denkbar.

Auch die Abschätzungen können variiert werden, beispielsweise lässt sich Pumpe C durch Pumpe B ersetzen oder umgekehrt. Das Ergebnis wird dadurch nur wenig verfälscht, da ihre beiden Pumpleistungen sehr nahe beieinander liegen. Gleichzeitig wird aber die Rechnung deutlich einfacher.

Answer 3

Ich halte es für Quatsch die Aufgabe mit " den effektivsten Rechentricks "
lösen zu wollen.
Was soll das für einen pädagogischen Sinn haben ?
In der Zeit die dafür aufgewandt worden ist hätte man die Aufgabe
schon ein paar mal lösen können.

Hier noch eine Variante

( 1 / 240 + 1 / 300 + 1 / 300 ) * x = 1
die Zahlen lassen sich alle durch 30 teilen
( 1 / 8 + 1 /10 + 1 / 11 ) * 1 / 30 * x = 1

Hauptnenner 80
( 10 + 8 + 7 ) / 80 * x = 30
25 * x = 2400
x ≈ 96
Am nächsten ist die Antwort b.) etwa 95 Std

mfg Georg

Comments

Wovon ist 80 der Hauptnenner?

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Damit es für nachfolgende Mitleser auch
nachvollziehbar ist.

Hauptnenner 80 ( angenommen )
10 + 8 + 7

Die 7 : in etwa