komplexe zahlen potenzen gleichung lösen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die nachfolgende Menge : [z∈C-(0) : z quer = z^2].

Mein ansatz war die klammern aufzulöen und das Alles als polynom 2-ten grades auszurechnen und so auf die lösung zu kommen. Polarform und all das hatten wir leider noch nicht auf diesem Wege gehts also nicht

Answer 1

z sei a + bi

Ist z quer das complex konjugierte?

z quer = z^2

a - bi = (a + bi)^2

a - bi = a^2 + 2·a·b·i - b^2

Koeffizientenvergleich ergibt:

a = a^2 - b^2

- b = 2·a·b

Löse das Gleichungssystem und erhalte:

a = 0 ∧ b = 0,
a = 1 ∧ b = 0,
a = - 1/2 ∧ b = √3/2,
a = - 1/2 ∧ b = - √3/2

Comments

Wie kann ein lgs 4 Lösungen haben?

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Es liegt gar kein LGS vor, sondern ein nichtlineares Gleichungssystem.

Answer 2

Alternative Lösung: Multipliziere \(\overline{z}=z^2\) mit \(z\ne0\) und erhalte \(|z|^2=z^3\). Da \(|z|=1\) folgt, sind die gesuchten Zahlen die Lösungen der Gleichung \(z^3=1\).

Comments

Warum ist |z|=1 ?

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Wegen \(|z|^2=\left||z|^2\right|=|z^3|=|z|^3\). Oder auch direkt wegen \(|z|=|\overline{z}|=|z^2|=|z|^2\).