Stetigkeit in 0 fortsetzen möglich? f(x) = (e^x - 1)/x

Question

ich habe eine kleine Frage und zwar ist die Aufgabe : "Lässt sich die Funktion f:ℝ\{0} →ℝ,

$$f\left( x \right) =\frac { { e }^{ x }-1 }{ x } $$ stetig in 0 fortsetzen?"

Also mein gesunder Menschenverstand sagt mir Nein nur ich weiß nicht so recht wie ich das zeigen soll ?

Hat da einer eine Idee ?

Comments

berechne doch mal den Limes von links und von rechts an der Stelle x=0.

Gruß

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Hab ich getan (falls wir das selbe meinen ) :

$${ lim }_{ x\downarrow 0 }\frac { { e }^{ x }-1 }{ x } =0\quad für\quad x\downarrow 0\\ { lim }_{ x\uparrow 0 }\frac { { e }^{ x }-1 }{ x } =0\quad für\quad x\uparrow 0$$

sagt mir das jetzt dass ich es doch darf ?

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Deine Grenzwerte sind falsch.

vgl. meine Antwort.

Answer 1

lim_x→o  f(x)     =_Hospital    lim_x→o  e^x/ 1 =  1

Man die Definitionslücke von f  bei x= 0 also durch f_erweitert (0) := 1 schließen

Gruß Wolfgang

Comments

ja klar hatte gerade nicht an l`Hopital gedacht , aber ich verstehe nicht was du mit dem erweitert meinst ?

Meinst du so eine Art Vorschrift ?

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Da die Funktion f nun mal den Definitionsbereich ℝ\{0} hat, muss man der neuen Funktion

f_e : ℝ → ℝ ;   x ↦ f(x) für  x≠0

1  für   x=0

einen neuen Namen geben.

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Achso das sieht dann ähnlich aus wie eine Heavyside Funktion .... Besten Dank

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"Achso das sieht dann ähnlich aus wie eine Heavyside Funktion .... Besten Dank "

Du meinst jetzt aber nur die Definition der Funktion und nicht die Funktion selber oder?

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Ja nur die Definition mit mit der geschweiften Klammer ...