ich habe über die Weihnachtsferien paar Aufgaben aufbekommen die etwas weihnachtlich verpackt sind, bei der letzten Aufgabe ist ein hinweis gegeben mit dem ich jedoch irgendwie nichts anfangen kann weil man den in meinen Augen nicht gebrauchen kann, da steht aber man solle das verwenden und beweisen . . .
Da die Aufgabe wie gesagt "weihnachtlich verpackt" ist, ist sie etwas länger geschrieben ...
Ich fasse sie unten nochmal so zusammen wie ich sie jetzt verstanden habe.
Moritz bekommt zu Weihnachten von seinem Patenonkel, der unter Moritz Streichen viel leiden musste, einen Würfel von einem Kubikmeter Größe geschenkt. Moritz braucht zum Auspacken eine Minute, und im Allgemeinen hängt die Zeit, die Moritz zum Auspacken braucht, proportional von der Oberfläche des Päckchens ab. Als er das Paket geöffnet hat, ist in dem Karton wieder ein eingepackter Würfel und 37/64 m^3 Luft. Und so geht es weiter. Das n-te Päckchen besteht wieder aus einem Anteil von 37/64 Luft und einem weiteren würfelförmigen Päckchen. Moritz versucht, die leeren Kartons aufeinander zu stapeln. Gelingt ihm das? Zudem machen die Eltern sich Sorgen, ob Moritz denn rechtzeitig zum Abendspaziergang zum Onkel mit dem Auspacken fertig sein wird. Packt Moritz noch an Neujahr aus? Und warum ist Moritz nachher so enttäuscht, dass er nicht mehr mit zum Onkel will?
Hinweis: Beweise und verwende:
$$\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k*\left( k-1 \right) } =1-\frac { 1 }{ n } } $$
Zusammenfassung:
Überprüfe ob die Reihe an konvergiert und berechne ihren Grenzwert gegebenenfalls:
$${ a }_{ n }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \sqrt [ 3 ]{ { \left( \frac { 27 }{ 64 } \right) }^{ n } } = } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ n }=\frac { 1 }{ 1-\frac { 3 }{ 4 } } =4 } $$
(da 1-37/64=27/64 ergibt)
Als nächstes musste man ja eine Formel für die Oberfläche sich ausdenken und da habe ich dann
$$O_{ n }=6*\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 2n }= } 6*\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 9 }{ 16 } \right) }^{ n }= } 6*\frac { 1 }{ 1-\frac { 9 }{ 16 } } =\frac { 96 }{ 7 } m^2$$ rausbekommen.
Da ich die Zeit bestimmen sollte die der Junge zum Auspacken des Geschenkes benötigt berechnen sollte und nur gegeben ist, dass die Zeit proportional zur Oberfläche ist, habe ich gesagt er benötigt $$Xs/{ m }^{ 2 }$$ (s=Sekunden)
Dann kam ich auf
$$t=\frac { 96 }{ 7 } Xs$$
Und jetzt frage ich mich an welcher Stelle ich den Hinweis gebrauchen hätte können ...
Lipsen