Weihnachtshausaufgabe zu Reihen

Question

ich habe über die Weihnachtsferien paar Aufgaben aufbekommen die etwas weihnachtlich verpackt sind, bei der letzten Aufgabe ist ein hinweis gegeben mit dem ich jedoch irgendwie nichts anfangen kann weil man den in meinen Augen nicht gebrauchen kann, da steht aber man solle das verwenden und beweisen . . . 
Da die Aufgabe wie gesagt "weihnachtlich verpackt" ist, ist sie etwas länger geschrieben ... 
Ich fasse sie unten nochmal so zusammen wie ich sie jetzt verstanden habe.

Moritz bekommt zu Weihnachten von seinem Patenonkel, der unter Moritz Streichen viel leiden musste, einen Würfel von einem Kubikmeter Größe geschenkt. Moritz braucht zum Auspacken eine Minute, und im Allgemeinen hängt die Zeit, die Moritz zum Auspacken braucht, proportional von der Oberfläche des Päckchens ab. Als er das Paket geöffnet hat, ist in dem Karton wieder ein eingepackter Würfel und 37/64 m^3 Luft. Und so geht es weiter. Das n-te Päckchen besteht wieder aus einem Anteil von 37/64 Luft und einem weiteren würfelförmigen Päckchen. Moritz versucht, die leeren Kartons aufeinander zu stapeln. Gelingt ihm das? Zudem machen die Eltern sich Sorgen, ob Moritz denn rechtzeitig zum Abendspaziergang zum Onkel mit dem Auspacken fertig sein wird. Packt Moritz noch an Neujahr aus? Und warum ist Moritz nachher so enttäuscht, dass er nicht mehr mit zum Onkel will?

Hinweis: Beweise und verwende:

$$\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k*\left( k-1 \right)  } =1-\frac { 1 }{ n }  } $$


Zusammenfassung:
Überprüfe ob die Reihe an konvergiert und berechne ihren Grenzwert gegebenenfalls:
$${ a }_{ n }=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \sqrt [ 3 ]{ { \left( \frac { 27 }{ 64 }  \right)  }^{ n } } = } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 3 }{ 4 }  \right)  }^{ n }=\frac { 1 }{ 1-\frac { 3 }{ 4 }  } =4 } $$

(da 1-37/64=27/64 ergibt)

Als nächstes musste man ja eine Formel für die Oberfläche sich ausdenken und da habe ich dann
$$O_{ n }=6*\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 3 }{ 4 }  \right)  }^{ 2n }= } 6*\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 9 }{ 16 }  \right)  }^{ n }= } 6*\frac { 1 }{ 1-\frac { 9 }{ 16 }  } =\frac { 96 }{ 7 } m^2$$ rausbekommen.

Da ich die Zeit bestimmen sollte die der Junge zum Auspacken des Geschenkes benötigt berechnen sollte und nur gegeben ist, dass die Zeit proportional zur Oberfläche ist, habe ich gesagt er benötigt $$Xs/{ m }^{ 2 }$$ (s=Sekunden)

Dann kam ich auf 
$$t=\frac { 96 }{ 7 } Xs$$

Und jetzt frage ich mich an welcher Stelle ich den Hinweis gebrauchen hätte können ... 


Lipsen

Comments

Der nächstkleinere hat ein Volumen von 27/64 = (3/4)^3 zum vorherigen Würfel.

Damit ergibt sich die Höhe des Turmes aus

∑(1·(3/4)^k, k, 0, ∞) = 4

Und die Oberfläche aus

∑(6·(1·(3/4)^k)^2, k, 0, ∞) = 96/7

Ich kann deine Ergebnisse bestätigen. Allerdings weiß ich auch nichts mit dem Hinweis anzufangen.

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Ich verstehe die Angabe

"Moritz braucht zum Auspacken eine Minute,..."

so, dass er für die erste Box zum Auspacken 1 Minute braucht. Aus der zweiten Angabe

"..., und im Allgemeinen hängt die Zeit, die Moritz zum Auspacken braucht, proportional von der Oberfläche des Päckchens ab."

folgt dann, dass er zum Auspacken

$$ 10 \frac{s}{m^2} $$

braucht.

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Ja. So verstehe ich das auch.

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Damit wäre dann doch die Auspackgeschwindigkeit gegeben und Lipsen könnte die einfach einsetzen, statt mit X zu rechnen.

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Seine Frage war denke ich nicht das X. Ich habe angenommen das er schon gewusst hat das wenn man 6 m^2 in einer Minute öffnet man dann für 1 m^2 10 Sekunden braucht.

Seine Frage galt denke ich eher dem Hinweis. Was fängt man mit der gegebenen Summenformel an.

Bleibt dann nur noch eine Frage:

Und warum ist Moritz nachher so enttäuscht, dass er nicht mehr mit zum Onkel will? 

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Naja, die Angabe bzgl. der Auspackgeschwindigkeit wurde anscheinend schon überlesen, aber das ist nicht die Hauptfrage, da hast Du Recht.

Enttäuschung vielleicht, weil am Ende nix drin ist. Wird ja irgendwann ziemlich klein die Box. Nr. 11 hat nur noch weniger als 5cm Kantelänge, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Das Auspacken dauert insgesamt ja auch weniger als 2,5min.

Wie man sich einen Ansatz baut, bei dem man den Hinweis verwenden kann, erschliesst sich mir auch nicht.

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ja genau, hab das mit der einen Minute irgendwie vollkommen überlesen ... ^^ 
das er wegen der Geschenkgröße enttäuscht war ist in meinen Augen auch am logischsten, da wollen sie vermutlich auch einfach nur irgendwas in der Richtung hören

aber bin ja schon mal froh, dass es nicht nur ich bin der mit diesem hinweis nichts anfangen kann^^

Answer 1

Beweis

∑ (k = 2 bis n) (1/(k·(k - 1))) = 1 - 1/n

Induktionsanfang: n = 2

∑ (k = 2 bis 2) (1/(k·(k - 1))) = (1/(2·(2 - 1))) = 1 - 1/2 --> stimmt

Indunktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 2 bis n + 1) (1/(k·(k - 1))) = 1 - 1/(n + 1)

∑ (k = 2 bis n) (1/(k·(k - 1))) + (1/((n + 1)·((n + 1) - 1))) = 1 - 1/(n + 1)

1 - 1/n + 1/(n·(n + 1)) = 1 - 1/(n + 1)

1 - (n + 1)/(n·(n + 1)) + 1/(n·(n + 1)) = 1 - 1/(n + 1)

1 - 1/(n + 1) = 1 - 1/(n + 1)

wzbw.

Und dann fragst du mal den Prof. an welcher Stelle ihr das hättet sinnvoll verwenden können.

Comments

Ich kann mir meinen Kommentar sparen, weil dein nächster dieser hier wäre.

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Stimmt. Man merkt das ich eigentlich nie mit Teleskopsummen gearbeitet habe. Also am besten den Summenterm etwas umschreiben und dann die Teleskopsumme benutzen.

1/(n·(n + 1)) = 1/n - 1/(n + 1)