Potenzreihe Grenzwert bestimmen für Konvergenzradius

Question

Hallo benötige Hilfe bei dieser Aufgabe:

$$\sum _{ j=0 }^{ \infty  }{ (\begin{matrix} 2j \\ j \end{matrix} } )(z-7)^{ j }$$

2j über j kann man umformen als (2j)!/(j!)^2

nun benötige ich den Konvergenzradius. Diesen habe ich mit dem Quotientenkriterium berechnet. Erhalte für den Grenzwert o somit Konvergenzradius unendlich. Nach der Lösung soll aber 1/4 als Konvergenzradius rauskommen. Wie geht man nun also hier vor?

Danke schon mal:)

Comments

Tipp: Betrachte die Reihenentwicklung der Funktion \(h(z)=\dfrac1{\sqrt{1-4z}}\).

Answer 1

wohl eher so:

2j über j kann man umformen als (2j)!/(j!)^2 

dann ist aj / aj+1

=  ( (2j)! * (j+1) !^2  ) /  j !^2  * ( 2(j+1)) !

=  ( j+1 )(j+1) /  ( (2j+1)(2j+2) )

und das hat GW 1/4 .