exp(x) stetig in 0 zeigen

Question

Hallo.

Ich soll die Stetigkeit von exp(x) bei 0 zeigen.

Kann ich hier einfach sagen, dass der limes x->0 von exp(x) = exp(0) ist?

Comments

Ich denke das langt aus. Im Prinzip muss der linke Grenzwert, der rechte Grenzwert und der Funktionswert an einer Stelle x übereinstimmen.

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OK

Alle die ich bisher gefragt habe meinten das ich das mit dem epsilon delza Kriterium machen soll. Das hier erscheint zu einfach ^^

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Ok. Und jetzt weißt du nicht wie das Kriterium geht ?

Kennst du denn die Formale Bedingung die erfüllt sein muss ?

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Das Formale kenne ich, aber ich bekomme das in Bezug auf die e Funktion nicht auf die Reihe

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Natürlich kannst du nicht einfach behaupten, "exp(x) ist stetig an x=0, weil der Limes für x gegen 0 von exp(x) gleich exp(0) ist". Beide darin enthaltenen Einzelaussagen sind zwar zutreffend, die zweite könnte die erste aber nur dann begründen, wenn sie selbst auch begründet wird.

Vermutlich habt ihr im Stoffzusammenhang die Stetigkeit über den Grenzwert definiert und damit entspräche deine Behauptung gerade der Definition und es bliebe$$\lim_{x\rightarrow 0}\exp(x) = \exp(0)$$zu zeigen womit die Stetigkeit dann bewiesen wäre.

Mit Links- und Rechtslimiten hat das im übrigen gar nichts zu tun!

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also ich habe jetzt das epsilon delta kriterium versucht und habe jetzt stehen das |x|<delta

Dann komme ich allerings nicht weiter

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Warum hast du beim Epsilon-Delta-Kriterium ein x und kein Epsilon ?

Answer 1

Du musst zeigen:

Für alle eps>0 gilt: Es gibt ein Delta mit

| x - 0 | < delta ⇒ | f(x) - f(0) | < eps .

bzw  | x | < delta ⇒ | e^x  - 1 | < eps .

Sei also eps>0  Dann wähle Delta als Minimum der beiden Werte

| ln(1-eps) |  und    ln(1+eps)

Dann gilt für    | x | < delta      jedenfalls    | e^x  - 1 |   <    eps  .

q.e.d.

Comments

Fragt sich halt bloss, wie man an Logarithmen rankommen soll, wenn man noch nicht mal weiss, dass exp stetig ist.

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In der Tat wäre ein Hinweis auf die def. von exp sinnvoll gewesen.

Answer 2

für alle \(x\in\mathbb R\) mit \(\vert x\vert<1\) gilt$$\vert \exp(x)-\exp(0)\vert=\left\vert\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k!}\right\vert\le\sum_{k=1}^\infty\vert x\vert^k=\frac{\vert x\vert}{1-\vert x\vert}.$$Es folgt \(\lim\limits_{x\to0}\big(\exp(x)-\exp(0)\big)=0\) und daraus die Behauptung.