n=1: x1 = 1 ⇒ x1 ≥ 1 passt.
gelte für n x1*x2*...*xn = 1 ⇒ x1+x2+....+xn ≥ n
und sei x1*x2*...*xn*xn+1 = 1
Damit das Produkt = 1 ist, muss es mindestens einen Faktor ≥ 1 enthalten
denn alle <1 hieße auch Produkt < 1.
Diesen Faktor ≥ 1 setzen wir an den Schluss, also ist xn+1 ≥ 1
Andererseits können auch nicht alle >1 sein; denn sonst wäre das Produkt >1,
also setzen wir einen, der ≤1 ist auf den vorletzen Platz, also ist xn ≤1
Dann ist x1*x2*...*(xn*xn+1 ) = 1 , wenn man das Ergebnis der Klammer als eine
Zahl interpretiert, ein n- stelliges Produkt , welches =1 ist, also gilt nach Ind. vor.
x1+x2+....+xn-1+(xn*xn+1) ≥ n #
Da xn ≤ 1 und xn+1 ≥ 1 gilt (1-xn)(1-xn+1)<0 also 1 - xn - xn+1 + xn*xn+1 < 0
also xn*xn+1 < xn + xn+1 - 1 Also kann ich bei # die Klammer ersetzen:
x1+x2+....+xn-1+ xn + xn+1 - 1 ≥ n also
x1+x2+....+xn-1+ xn + xn+1 ≥ n +1 q.e.d.
