Grenzwerte ohne l´Hopital

Question

Hi habe schwierigkeiten folgendes zu beweisen

Man zeige:

(i)  lim_z→0 ((e^z) -1) /z = 1

(ii)  lim_x->∞ (x^n)/e^x = 0     x ∈ ℝ, n ∈ ℕ₀ 

Mit dem l´Hoptial wäre das kein problem für mich jedoch sind wir noch nicht soweit und ich darf dieses wissen noch nicht benutzen.

habe mir bei (i) folgendes gedacht

äquivalenzumformung auf lim _z-→0 e^z -1 = z      => 0 = 0 also wahr?! bin mir ziemlich unsicher ob ich das so machen darf

bei (ii) habe ich keinen Ansatz

Danke

Comments

äquivalenzumformung auf lim _z-→0 e^z -1 = z      => 0 = 0 also wahr?! bin mir ziemlich unsicher ob ich das so machen darf

Nein, das ist voelliger Quatsch.

Ich nehme an, e^z ist durch die Exponentialreihe definiert? Dann musst Du die auch benutzen.

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genau.

e^z = _n=0∑^∞ zⁿ / n! = 1 + z + (z^2)/2 ...

eingesetzt in e^z -1 /z

Die 1 der exponentialreihe hebt sich auf mit der anderen auf dem bruchterm. Jetzt seh ich auch den rest.

z/z = 1 und der rest der terme teilt sich jeweils durch z und es folgt 1+ 0 + 0 +0+0+0+...+0 und somit folgt das der grenzwert 1 ist.

Danke

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Du teilst also durch \(z\), was nur unter der Voraussetzung \(z\ne0\) erlaubt ist, und setzt dann trotzdem in das Ergebnis \(z=0\) ein?

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Ist das nicht nur eine Termumformung?

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Aber halt eine, die nur für \(z\ne0\) erlaubt ist. Wenn ich dann trotzdem \(z=0\) in das Ergebnis einsetze, dann habe ich offensichtlich beschissen.

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Stimmt. Komme da auch grade nicht weiter mit

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Als Ausweg aus diesem Dilemma hat man im 19. Jahrhundert eine saubere Grenzwertdefinition gegeben, sowie auch den Begriff der Stetigkeit klar gefasst.

Kennst Du den Satz, dass eine Potenzreihe in ihrer Konvergenzkreisscheibe eine stetige Funktion darstellt?

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Leider haben wir das Thema mit der Potenzreihe und deren Konvergenzkreisscheibe noch nicht behandelt ;(

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Dann ist Handarbeit angesagt. Aus der Exponentialreihe kann man $$\left|\frac{e^z-1}{z}-1\right|\le |z|$$ für \(|z|\le1\) ableiten und dann per Sandwich argumentieren. Viel Spass!

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habs mit der restgliedabschätzung hergeleitet und dann mit dem sandwich kriterium argumentiert... endlich :D danke