Gleiche Einheitswerte, verschiedene Einheitsvektoren

Question

folgende Matrix:

$$\left( \begin{matrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 3 \end{matrix} \right) $$

Es sollen die EIgenwerte, sowie EInheitsvektoren angegeben werden.

EIgenwerteberechnung ist klar, da kommt raus 1,1,-1

Nun habe ich Probleme bei der Bestimmung der EIgenvektoren für die Eigenwerte 1 und 1.

ich stelle mir das Gleichungssystem auf:

-x1     -x2      +x3 =0
-3x1 -3x2   +3x3 =0
-2x1  -2x2  +2x2 =0

daruas ergibt sich:

-x1     -x2      +x3 =0

nach Umformung : x1 = -x2+x3

und somit$$ V\left( \begin{matrix} -x2+x3 \\ x2 \\ x3 \end{matrix} \right) $$

dann setze ich einmal x3 und einmal x2 =0

was zu den richtigen EInheitsvektoren Av1 und Av2 fürht nämlich

$$Av1\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ und $$ Av2\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)  $$

So jetz gehts zu meiner Frage,
Bin ich überhaupt richtig vorgegangen, und wenn ja, woher weiß ich, dass ich nach x1 umformen muss?

ich hätte ja auch nach x2 umformen können, bekomme dann aber völlig andere EInheitsvektoren raus.

Grüße

Comments

Also nach X2 umgeformt lauten die Vektoren :

$$Av1\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

und

$$Av2\left( -\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Answer 1

ich hätte ja auch nach x2 umformen können, bekomme dann aber völlig andere EInheitsvektoren raus.

wie völlig anders sind die denn.

Es gibt ja zu jedem Eigenwert einen Eigenraum, also einen ganzen Vektorraum mit Eigenvektoren,

und von dem bestimmt man dann eine Basis, da gibt es immer mehrere Möglichkeiten.

Gib doch mal dein anderes Ergebnis an.

Comments

Also nach X2 umgeformt lauten die Vektoren :

$$Av1\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

und

$$Av2\left( -\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

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Ja, und die bilden auch eine Basis für den gleichen Raum.

Denn wenn du etwas mit den ersten beiden darstellst

(Ich schreib mal Zeilen)

x*(-1 ; 1 ; 0 ) + y * ( 1 ; 0 1 ) =   ( - x +y  ;  x  ;   y  )

dann geht das auch mit den anderen beiden, halt nur mit anderen Faktoren

y*(0;1;1) + ( -x+y) * ( 1 ; -1 ; 0 ) = ( -x + y ; x ;  y )

Also sind beides Basen für den Eigenraum.

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gibt es dann für jeden Eigenwert mehrere Eigenvektoren?

oder gibt es nur mehrere EIgenvektoren wenn es auch den EIgenwert mehrmals gibt?

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Das ist wie bei der Basis von Vektorräumen, wenn es 1-dim. ist

sind alle Eigenvektoren Vielfache voneinander, also wenn

(1;2;3;4) einer ist dann auch ( 2;4;6;8) etc.

Bei 2 dim. kannst du Linearkombinationen bilden und die sehen sich

dann schon nicht mehr ganz so ähnlich etc.