Ist die Funktion an der Stelle...differenzierbar?

Question

ich brauche eure Hilfe. Und zwar weiß ich nicht, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.

Ich soll prüfen, ob die Funktion an der Stelle x=1 differenzierbar ist und ggf. die Werte für a und b angeben.

Was soll ich nun machen?

Habe mir gedacht, ich untersuche den links-/rechtsseitigen Grenzwert des Differentialquotienten an der Stelle x₀=1.

Also:

Hier angewendet:

1. Rechtsseitiger Grenzwert

Bedeutet das hier jetzt, dass ich für b eine beliebige Zahl einsetzen darf, also b∈ℝ?

2. Linksseitiger Grenzwert

Hier scheitere ich.....ich weiß nicht, was ich nun machen soll.

Danke für eure Hilfe !

Frohes neues :)

Answer 1

An der Nahtstelle muß die Funktion stetig sein. f1 = f2
Sowie die 1.Ableitung muß gleich sein. f1´= f2 ´

~plot~ ( x < 1 ) * ( x^2 - x + 1  ) + ( x > 1 ) * x ; [[ 0 |2 | 0 | 3 ]] ~plot~

Answer 2

betrachte den Differenzenquotienten von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\):$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\begin{cases}h+a+2,&\text{falls }h\le0\\1+\frac bh,&\text{falls } h>0.\end{cases}$$Der Grenzwert für \(h\to0\) existiert, falls \(b=0\) und \(a=-1\) ist.

Comments

Ich habe eine Frage, wie kommst du denn auf h+a+2 ind 1+ b/h?

Ich komm leider nicht auf die Ergebnisse.

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Setze \(x_0=1\). Für \(h\le0\) ist \(1+h\le1\) und damit nach Definition von \(f\)$$\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{\big((1+h)^2+a\cdot(1+h)+1\big)-\big(1^2+a\cdot1+1\big)}h$$$$\quad=h+a+2.$$Gehe für den Fall \(h>0\) analog vor.

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Tut mir leid, dass ich so spät antworte, aber ich versteh genau den Teil für h>0 nicht . Am Schluss komme ich nicht auf das gleiche Ergebnis. Bei mir kommt : h/h heraus .

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Etwas ausführlicher gilt für \(h>0\)$$\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{(1+h+b)-(a+2)}h=1+\frac{b-a-1}h.$$