Man bestimme Extremwerte sowie Wendepunkte eines Integrals

Question

folgendes Integral :

$$\int _{ -10 }^{ { t }^{ 2 } }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } $$

Ich komme schonbei der Bildung von F´(t) nicht auf das richtige Ergebnis, ich bekomme raus: -2t^2 * e^-t^4

laut lösung kommt heraus : 2t *e^-t^4

WIe gehe ich richtig vor?

Answer 1

$$ für F(z) = \int_{-10}^{z}e^{-x^2} dx  gilt $$
$$  F '(z) = e^{-z^2}  $$
Aber du hast ja eine Verkettung mit t^2 also
musst du die Kettenregel anwenden und mit der
Ableitung von t^2 multiplizieren.
$$F '(t) = 2t* F'(t^2)= 2t*e^{-t^4} $$

Comments

ich verstehe die Ableitung leider nicht.. die ABleitung von e^-x^2 ist doch -2x*e^-x^2

und wenn ich dafür jetz t2 einsetze, lande ich wieder bei meinem ergebnis von oben.

warum ist deine Ableitung ohne das -2x ?

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normalerweise gilt:

Ableitung der Integralfunktion ist der Integrand

also wenn F(z) = integral von a bis x f(x) dx ist

dann ist F ' (z) = f(z)    nun hast du aber statt z

hier das t^2 . Also eine Verkettung mit der Funktion g(t) = t^2

also z = g(t)

Dann ist die Abl. nach der Kettenregel

d F ( g (t) )  / dt =   F ' (z)  * g ' ( t )

= f(z) *   2t

= 2t * f(z)

= 2t * e hoch - t^4 .