Umkehrfunktion von f(x)=√cos(x) bestimmen

Question

ich muss von dieser Funktion die Umkehrfunktion bestimmen:

f(x)=√cos(x)

D.h.

y=√cos(x)   |↑2

y^2=cos(x)  Jetzt komm ich nicht mehr weiter.....Wie komme ich hier an mein x?

Danke schon mal:)

Answer 1

sollte in deiner Aufgabenstellung der Definitionsbereich D_f = [ 0 ; π/2 ] angegeben sein, dann 

1) wäre es nett, wenn du uns in Zukunft so etwas mitteilen würdest

2) kannst du unten bei  # weiterlesen  (oder aus Interesse auch hier anfangen :-))

f(x) = √cos(x)

Diese Funktionsvorschrift ist nur für cos(x) > 0 definiert, also für x ∈ [ (2k-1) • π/2 ; (2k+1) • π/2 ]  mit k∈ℤ.

In diesen Intervallen wiederholen sich die Funktionswerte ständig von Intervall zu Intervall und auch innerhalb der einzelnen Intervalle wiederholen sich die Funktionswerte symmetrisch zur Intervallhälfte.

Eine Umkehrfunktion existiert aber nur, wenn die Funktion injektiv ist, wenn also für verschiedene x-Werte aus D auch die Funktionswerte verschieden sind.

Als Definitionsmenge von f musst du also die Hälfte eines der o.g. Intervalle festlegen, z.B.  D = [ 0 ; π/2 ]   mit k=0

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Sei also f: [ 0 ; π/2 ] → ℝ ; f(x) = √cos(x),  die Wertemenge von f ist dann W = [0 ; 1]

Für die Berechnung der Funktionsvorschrift von  f ^-1 schreiben wir 

y = √cos(x)   | ²

nach x auflösen:

y² = cos(x)

arccos(y²) = x  

Variablennamen vertauschen:

y = arccos(x²)

f^-1: [0 ; 1] → [ 0 ; π/2 ] ;  x ↦ arccos(x²)

Der Graph einer Umkehrfunktion ergibt sich aus dem Graph einer Funktion durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden y = x

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Vielen Dank:), D.h. wenn man bei der Funktionsvorschrift an das x kommen möchte, dann kann man das einfach auf beiden Seiten mit dem arccos multiplizieren also so?

y² = cos(x)  |arccos

arccos(y²)=arccos(cos(x))                 

 und arccos(cos(x)) ist dann x? Ist dies so richtig rum bzw. die

                                                           richtige

                                                           Schreibweise?

arccos(y²) = x  

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arccos ist die Umkehrfunktion von cos .

Hintereinander ausgeführt heben sich die beiden Fuktionen auf,

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Wie schreibt man dies mathematisch auf?

Der Rest ist klar, verstehe nur diesen Rechenschritt nicht...

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arccos(y²)=arccos(cos(x))  [=x]  ist richtig hingeschrieben

Answer 2

verwende den Arcuscosinus. Achte übrigens auf den Definitions- und Wertebereich deiner Funktionen.

Liebe Grüße, Bruce