Dreieck 0,5*a^2 * sin(x) und Halbkreis r^2 * pi / 2 und sin(x/2) = r / a
a*sin(x/2) = r
also gesamte Fläche
f(x) = 0,5*a^2 * sin(x) + a^2 * sin(x/2)^2 * pi
f ' (x) = 0,5*a^2 * cos(x) + a^2 * 2*sin(x/2)^2 * cos(x/2) * pi
f ' (x) = 0 gibt a^2 * ( 0,5 * cos(x) + 2*sin(x/2)^2 * cos(x/2) * pi) = 0
also 0,5 * cos(x) = - 2*sin(x/2)^2 * cos(x/2) * pi
cos(x) = -4 pi *sin(x/2)^2 * cos(x/2)
1 - 2 sin(x/2)^2 = -4 pi *sin(x/2)^2 * cos(x/2) und cos(x/2) = wurzel( 1 - sin(x/2)^2)
1 - 2 sin(x/2)^2 = -4 pi *sin(x/2)^2 * wurzel( 1 - sin(x/2)^2)
mit Substitution
1 - 2 z^2 = - 4pi * z^2 * wurzel ( 1 - z^2 )
wurzel ( 1 - z^2 ) = - 4pi * z^2
1 - z^2 = 16pi * z^4
und noch eine Substitution z^2 = u
1 - u - 16pi*u^2 = 0
gibt die pos. Lösung (wurzel( 64pi + 1 ) - 1 ) / ( 32pi) ungefähr 0,131451
also z = 0,3626
und mit sin(x/2) = 0,3626
bekomme ich x/2 = 21,26° also Winkel x = 42,52°
wirkt etwas krumm, finde aber keinen Rechenfehler.