Wie groß sind die Winkel?

Question

Einem gleichschenkligen (Die Schenkellänge A ist konstant) auf der Spitze stehenden Dreieck werde oben (an der Grundseite)ein Halbkreis aufgesetzt.
Wie groß ist die Winkel zwischen den gleichlangen Seiten vom Dreieck zu wählen, damit der Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur größtmöglich wird?

Answer 1

Dreieck 0,5*a^2 * sin(x)  und  Halbkreis  r^2 * pi / 2 und  sin(x/2) = r / a

a*sin(x/2) = r

also gesamte Fläche

f(x) =   0,5*a^2 * sin(x)  + a^2 * sin(x/2)^2 * pi

f ' (x)  = 0,5*a^2 * cos(x) + a^2 * 2*sin(x/2)^2 * cos(x/2) * pi

f ' (x) = 0 gibt      a^2 * (  0,5 * cos(x) +  2*sin(x/2)^2 * cos(x/2) * pi) = 0

also   0,5 * cos(x)  = -  2*sin(x/2)^2 * cos(x/2) * pi

cos(x) = -4 pi  *sin(x/2)^2 * cos(x/2)

1 - 2 sin(x/2)^2 = -4 pi  *sin(x/2)^2 * cos(x/2)    und  cos(x/2) = wurzel( 1 - sin(x/2)^2)

1 - 2 sin(x/2)^2 = -4 pi  *sin(x/2)^2 * wurzel( 1 - sin(x/2)^2)

mit Substitution

1 - 2 z^2 = - 4pi * z^2 * wurzel ( 1 - z^2 )

wurzel ( 1 - z^2 ) = - 4pi * z^2

1 - z^2 = 16pi * z^4

und noch eine Substitution     z^2 = u

1 - u - 16pi*u^2 = 0

gibt die pos. Lösung  (wurzel( 64pi + 1 ) - 1 )  / ( 32pi) ungefähr   0,131451

also z = 0,3626

und mit sin(x/2) = 0,3626

bekomme ich x/2 = 21,26°  also Winkel x = 42,52°

wirkt etwas krumm, finde aber keinen Rechenfehler.