Monoton wachsen, fallen

Question

Hallo 

Ich bräuchte einen Lösungsansatz bei folgenden Aufgaben.

Zu 2b wie funktioniert das mit dem monoton wachsend,  fallend?

Zu 2c wie bestimme ich extremstellen ohne die 2. Ableitung? 

Danke schonmal 

Answer 1

b)

1. Ableitung kleiner als Null - monton wachsend

1. Ableitung kleiner als Nill - monton fallend

c)

1. Ableitung gleich Null - es liegt eine Extremstelle vor

jetzt beziehe deine Informationen aus a) mit ein

Comments

Hallo Isomorph,

zu b)

Du hast meines Wissens nach die Definition von strenger Monotonie angewendet. 

zu c)

Es liegt nicht immer eine Extremstelle vor, wenn die 1. Ableitung gleich 0 ist, sonst bräuchte man ja nicht noch das hinreichende Kriterium zur Bestimmung.

Gruß

Answer 2

2b)

Für f(x) gilt,

( ist f'(x) <0 dann ist f(x) streng monoton fallend (Steigung immer negativ) )

ist f'(x) <= 0 dann ist f(x) monoton fallend (Steigung immer negativ oder 0)

( ist f'(x) >0 dann ist f(x) streng monoton wachsend (Steigung immer positiv) )

ist f'(x) >= 0 dann ist f(x) monoton wachsend (Steigung immer positiv oder 0)

2c)

Damit eine Funktion einen Extremstelle hat, muss ihre Steigung direkt vor der Stelle negativ und danach positiv (Tiefpunkt) sein, oder vor der Stelle positiv und danach negativ (Hochpunkt). Für ihre Ableitung bedeutet es das gleiche, d.h. die Ableitung muss vor Ihrer Nullstelle negativ und danach positiv sein, oder umgekehrt. Die Monotonie von f(x) bestimmt man über die Werte von f'(x), und ein Monotoniewechsel fallend/wachsend oder wachsend/fallend kennzeichnet einen Extrempunkt . Daraus kann man dann ersehen ob ein Extrempunkt vorliegt. Hat f'(x) zwar eine Nullstelle f'(x)=0, aber keinen x-Achsendurchgang, d.h. vor und nach der Nullstelle positiv (bzw. negativ) liegt nur ein Sattelpunkt vor.

Beispiel 1 Hoch- und 2 Tiefpunkte:

$$f(x)= 0,5 x^4 -2x^2+1$$

$$f'(x)= 2x^3 -4x$$

~plot~0,5x^4-2x^2+1;2x^3-4x~plot~

Beispiel eines Sattelpunktes

$$ f(x)=x^3 $$

$$f'(x)=3x^2 $$

~plot~x^3;3x^2~plot~