Wegen dem Betrag könnte man ja zunächst eine Fallunterscheidung machen.
Ansonsten Ableitung per Kettenregel und Quotientenregel
d/dx LN((e^x - 1)/(e^x + 8)) = 9·e^x / ((e^x - 1)·(e^x + 8)) für x > 0
d/dx LN((1 - e^x)/(e^x + 8)) = 9·e^x/((e^x - 1)·(e^x + 8)) für x < 0
Die Ableitung sieht ja jetzt identisch aus, weshalb man jetzt auch das als eine Definieren kann.
Merke also
d/dx LN(|x|) = 1 / x