Leite Funktion mit ln und Betrag ab. f(x)= ln|(e^{x}-1)/(e^{x}+8)|

Question

f(x)= ln|(e^{x}-1)/(e^{x}+8)|

Danke ;)                  

Answer 1

Wegen dem Betrag könnte man ja zunächst eine Fallunterscheidung machen. 

Ansonsten Ableitung per Kettenregel und Quotientenregel

d/dx LN((e^x - 1)/(e^x + 8)) = 9·e^x / ((e^x - 1)·(e^x + 8)) für x > 0

d/dx LN((1 - e^x)/(e^x + 8)) = 9·e^x/((e^x - 1)·(e^x + 8))  für x < 0

Die Ableitung sieht ja jetzt identisch aus, weshalb man jetzt auch das als eine Definieren kann.

Merke also 

d/dx LN(|x|) = 1 / x

Comments

danke sehr

also macht man den betrag hier nur zum verwirren``?^^

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Grundsätzlich wird nichts gemacht um den Schüler zu verwirren. Das wird alles gemacht damit Schüler etwas lernen :)

In diesem Fall auch mit Beträgen sicher umzugehen.

Answer 2

Hi, löse den Betrag und den Quotienten auf und benutze die Kettenregel:$$ f(x)= \ln\left|\frac { \text{e}^x-1 }{ \text{e}^x+8 }\right| = \begin{cases}{\ln\left(1-\text{e}^x\right)-\ln\left(\text{e}^x+8\right)}\quad\land\quad x<0 \\ {\ln\left(\text{e}^x-1\right)-\ln\left(\text{e}^x+8\right)}\quad\land\quad x>0 \end{cases} $$

Comments

danke sehr