linear / annihilator

Question

 

Ich habe zwar einige Definitionen aber ich weiß nicht wie ich alles einsetzen soll.

Frage nicht nach der kompletten Antwort, möchte nur Tipps zu den Aufgaben.

Für die 3 habe ich folgendes:

-  Ann(A) := { X ∈ Mat(n×n,K) l xA=0} ⊂ Mat(n×n,K)

- T ∈ K^n×n  invertierbar ⇔ f : ℝⁿ → ℝⁿ , x ↦ A*x ist ein Isomorphismus

-  A Isomorphismus wenn :

+ det(A) ≠  0

+ Es gibt ein B ∈ K^n×n  mit AB = 1 o. BA =1

+ Es gibt ein B ∈ K^n×n  mit AB = 1 u. BA =1

+ rg(A) = 1 ...

Für T wissen wir schon dass es Isomorph ist. da frage ich mich ob man für die Invertierbarkeit von T, A einsetzt und somit wäre es beweisen.

Für die 2 habe ich keine Fragen, die schaffe sowieso ich nicht.

Ich habe aber eine andere Frage, nähmlich:

Sei 0 ≠ φ : ℝ² → ℝ²  linear mit φ²  = 0. Wie kann man zeigen, dass die dimension vom kern von φ =1 ist?

Soll man da die Eigenschaften der Linearität im ℝ² nehmen ?

Answer 1

die Gleichheit zweier Mengen kannst du zeigen, in dem du nachweist, dass die eine Menge jeweils Teilmenge der anderen Menge ist.

Für den zweiten Teil von a): Finde einen Isomorphismus, da kann ich dir nicht viel mehr zu sagen, ohne dir sofort die Lösung zu verraten.

Zu der anderen Frage: Ja man verwendet die Linearität und bspw. noch die Dimensionsformel.

Gruß

Comments

Danke für deine Antwort hat mich sehr geholfen.

Zum zweiten Teil, den mit dem Isomorphismus, kann ich es beliebig finden.

Nein, ich wollte eigentlich sagen, dass ich nicht verstehen was du mit "Isomorphismus finden" meinst.

Ansonsten, vielen Dank nochmal für deine Hilfe. :)

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Damit meine ich, dass es (wie im Hinweis schon beschrieben) reicht eine Abbildung anzugeben, die die eine Menge isomorph auf die andere abbildet.

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Kann ich die Abbildung von T aus nehmen?

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Erfüllt sie denn die geforderte Eigenschaft? Was genau meinst du mit "die Abbildung aus T"? Schreib doch die konkrete Abbildung hin die du vorschlagen möchtest.

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Ich benutze die Eigenschaft die ich oben geschrieben hatte, die mit der Invertierbarkeit von T. Dann versuche ich die Bijektivität oder Injektivität von da aus zu zeigen.

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1. Müsste da \( x \rightarrow Tx\) stehen.

2. Ist \(f\) eine Abbildung auf \(\mathbb{R}^n\). Du suchst eine Abbildung auf \(Ann(A)\).

3. Selbst bei der Anpassung auf \(Ann(A)\) passt es trotzdem nicht.

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Bin eine wenig verloren.
Um den beweis zu machen muss ich zeige dass,
es ist Homomorphismus und es ist bejektiv, oder nicht?

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Das macht ja ein Isomorphismus aus. Dafür musst du aber erstmal eine geeignete Abbildung finden. Ob es nötig ist jede Eigenschaft einzeln nachzuweisen kommt immer auf den eigenen Hintergrund an. Würde es dir hier aber als Übung empfehlen.

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Ich gebe auf!! Mache ich später nochmal in Ruhe.
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.

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Ideen brauchen manchmal ihre Zeit. Meld dich einfach später, wenn du noch Fragen hast.

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OK! Mach ich! Werde mich heute Abend melden.
 Thx