Periodische Funktion f(t+T)=f(t)

Question

Ich kann mir das nicht bildlich darstellen was damit gemeint 

Wenn ich eine Funktion habe g:R->R mit  t -> f(1/t)

Und setzte für t beliebige Zahlen aus den reellen Zahlen ein was kommt denn für ein Ergebnis raus.

Kann mir das jemand vielleicht erklären??

Answer 1

wenn gilt

$$ f(t)=f(t+T) $$

bedeutet dies, dass f(t) eine Periodische Funktion mit der Periode T ist. Denn es gilt automatisch auch

$$ f(t)=f(t+2T) $$

denn

$$ f(t)=f(t+T)= f((t+T)+T)=f(t+2T) $$

Beispiel

$$ g(x)=sin(x) $$

Die Sinusfunktion ist in Rad 2π periodisch bzw. in Grad 360° periodisch, d.h. T = 2π 

$$ sin(x)= sin(x + n\cdot 2 \pi) \qquad \forall n \in \mathbb{Z} $$

~plot~sin(x);[[-1|14|-1,5|1,5]]~plot~

Comments

Bei Sinus weiß ich das aber ich hab eine Abbildung, die  von t auf f(1/t) abbildet darunter kann ich mir nichts vorstellen. 

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Huch verlesen. Mal gucken ob ich dazu eine passende Antwort hinkriege!

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Was ich aber jetzt nicht verstehe ist der Zusammhang zwischen der Überschrift und der Aufgabenstellung. Bist Du Dir sicher, dass so richtig ist?

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Ich schreib dir mal genau was in der Aufgabe steht

f: R->[-1;1] stetig und hat die Periode 1, somit gilt f(t+1) =f(t) 

g_0:(0,1)-> R mit g(x) = f(1/t) 

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Hmm,

hier hast Du ja gar keine Funktion g:R→R mehr sondern nur noch von (0,1)→R, damit kannst Du auch keine beliebigen Zahlen aus R einsetzen...

Wieder ein Beispiel mit sin(x)

f(x) = sin(2pi*x) erfüllt die Anforderung f: R → [-1,1] stetig mit der Periode 1

g(x)=sin(1/(2pi*x))   mit x ∈ (0,1)

~plot~sin(2pi*x);sin(1/(2pi*x));[[-1|2|-1|1]]~plot~

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Ist denn f(1/t) irgendeine periodische Funktion ??

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Nunja, f(1/t) ist ja eher eine Kombination aus 2 Funktion:

nämlich f(t), mit welchen Eigenschaften auch immer

und g(t)=1/t

f(1/t)=f(g(t))

Die Eigenschaften dier Funktion müsste man überprüfen.

Falls für f(t) gilt f(t+T)=f(t) muss man erst überprüfen ob das auch für f(g(t)) noch gilt.

g(t) ist aber nicht stetig. Definitionslücke bei t=0 und die Grenzwerte von oben und unten gegen t=0 sind nicht gleich!

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Aber in der ersten Aufgabe steht das g(t) gleichmäßig stetig ist 

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tut mir leid, aber wenn immer wieder neue Informationen dazu kommen, von denen vorher nicht gesprochen wird etc., ist es nicht unbedingt leicht die Antwort zu finden.

Bitte schreib doch beim nächsten Mal alle Angaben direkt und eindeutig mit in die Frage.

Was ist denn mit Deiner Frage, was passiert wenn man beliebige Zahlen für R einsetzt. Bislang gibt es ein g:R nach R und ein g: (0,1) nach R. Welches g ist denn jetzt richtig? Ist g gleichmässig stetig auf R oder auf dem Definitionsbereich (0,1)?

Gruß

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Das zweite g is richtig 

Bei dem ersten wollte Nur allgemein wissen was das bedeutet

Ich dachte das wäre nicht wichtig das mit gleichmäßiger Stetigkeit 

Jaa vom definitionsbereich