Es sei V ={f ∈ℝ[X] ∣ deg(f) ≤ 3} . Berechnen sie Basis von Kern von linearer Abbildung,

Question

Kern bedeutet ja alle Vektoren die durch E_λ auf die 0 abbgebildet werden.
also
E_λ = 0
<=> f(λ) = 0
<=> aλ³ + bλ² + cλ + d = 0

Was ist die Basis davon?

Comments

Offenbar enthält der Kern die Polynome x - λ, (x - λ)² sowie (x - λ)³.

Answer 1

Nach dem Kommentar bleibt nur zu zeigen , dass diese alle linear unabhängig sind .

Denn die Dimension des Kerns muss kleiner sein als 4; denn sonst wären es

ja alle .

Comments

bei b) wären es dann die, die je mindestens einen Linearfaktor (x - λ) und (x - μ) enhalten.

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Ah ok,

also muss ich zeigen, dass a*(x - λ) + b(x - λ)² + c(x - λ)³ = 0 gdw. a=b=c=0 ist oder?

Aber wie mach ich das?

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a*(x - λ) + b(x - λ)² + c(x - λ)³ = 0   mal was umformen

mit L statt lambda)

ax^3 +(-3aL+b)*x^2 + (3aL^2-2bL+c)*x+(- aL^3+bl^2-cL) = 0

und weil x^3, x^2, x und 1 lin. unabh. sind, gilt

a= 0

3aL+b=0  also auch b=0

und mit

3aL^2-2bL+c=0   auch c=0 .   BINGO!

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Wie würde man dann die Lösung von Aufgabe (b) berechnen? Statt a(x-λ) + b(x-λ)² + c(x-λ)³ = 0 mit a(x - μ)(x-λ) + b(x - μ)(x-λ)² + c(x - μ)(x-λ)³ = 0 rechnen?