Beweis oder Gegenbeispiel für Grenzwert. Bsp. f(x)≤g(x) ⇒ lim f(x) ≤ lim g(x), falls beide existieren.

Question

Aufgabe:

Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an:

(a) \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sind Funktionen mit \( f(x) \leq g(x) . \) Dann gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) \leq \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x) \) falls beide Grenzwerte existieren.

(b) \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sind Funktionen mit \( f(x)<g(x) . \) Dann gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)<\lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x) \) falls beide Grenzwerte existieren.

(c) Es sei \( a_{n} \) eine Folge, \( f \) stetig, injektiv und es gelte \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f(a) \) für ein \( a \in \mathbb{R} \). Gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a ? \)

(d) Jede bijektive Funktion \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) ist stetig.

Answer 1

(a) Angenommen y_g := lim_x→0 g(x) > lim_x→0 f(x) =: y_f. Sei 0 < ε < (y_g-y_f)/2. Dann existieren δ_f, δ_g > 0, so dass x∈[-δ_f, δ_f]\{0} ⇒ |f(x)-y_f| < ε und x∈[-δ_g, δ_g]\{0} ⇒ |g(x)-y_g| < ε. Sei δ = min {δ_f, δ_g}. 

Aufgrund der Konstruktion von δ gibt es ein x ∈ [-δ,δ]\{0}, so dass g(x) > f(x).

(b) Baue in die Funktionen f(x) = x und g(x) = 2x Unstetigkeitsstellen bei 0 ein, so dass f(x) < g(x) für alle x∈ℝ erfüllt ist.

(c) Müsste stimmen. Wegen Injektivität existiert die Abbildung g: Bild f → Def f mit x = g(f(x)).

(d) Vertausche bei einer stetigen bijektiven Funktion die Funktionswerte zweier Stellen. Die resultierende Funktion ist nicht mehr stetig, aber immer noch bijektiv.

Comments

könntest du einmal erklären wie du da bei a und b genau vorgehst? verstehe das leider noch nicht so ganz

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a) ist ein indirekter Beweis: wenn das Gegenteil der Behauptung gilt, dann führt das zu einem Widerspruch. Sorry, ich habe dabei f und g vertauscht.

b) Sei \( f(x) = \begin{cases} 1 & falls x=0\\ x & falls x \neq 0 \end{cases} \) und \( g(x) = \begin{cases} 2 & falls x=0\\ 2x & falls x \neq 0 \end{cases} \).

Dann ist \( f(x) \lt g(x) \) für alle \( x\in \mathbb{R} \), aber \( \lim_{x\to 0}f(x) = 0 \nless 0 = \lim_{x\to 0}g(x) \).

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danke! und was meinst du bei d) mit dem vertauschen? ich weiß nicht wie ich mir das vorzustellen habe

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Sei \( f: [0,1] \to [0,1] \) stetig bijektiv. Sei \( g: [0,1] \to [0,1], x\mapsto \begin{cases} f \left(\frac{1}{3}\right) & \text{ falls } x = \frac{2}{3} \\ f\left(\frac{2}{3}\right) & \text{ falls } x=\frac{1}{3} \\ f(x)& \text{ sonst } \end{cases} \).

Dann ist \( g \) bijektiv, aber nicht stetig.