Beispiel zum allgemeinen Fixpunktsatz

Question

Hallo.

wir haben den allgemeinen Fipunktsatz behandelt und ich soll Beispiele nennen, wo er NICHT gilt,falls

1. f:[a,b]->[a,b] nicht stetig ist

2. f zwar stetig ist,aber auf der Vereinigung von Intervallen definiert ist, die sich nicht berühren

3. f zwar stetig ist,aber auf dem offenen Intervall ]a,b[ aus R definiert ist.

 

Definiert haben wir den Satz wie folgt:

Sei f.[a,b]->[a,b] eine stetige Funktion dann folgt daraus, dass es ein x₀ gibt aus [a,b], sodass f(x₀ )= x₀ gilt, dh. dass x₀ Fixpunkt ist.

 

Leider weiß ich nicht, wie ich da rangehen muss :(

Answer 1

Zu 1):  Definiere  f : [0,1] → [0,1]  durch  x ↦ 1, falls  0 ≤ x < 1  sowie  x ↦ 0, falls  x = 1.
Zu 3):  Definiere  f : (0,1) → (0,1)  durch  x ↦ x².