Aufgabe zum Banachen Fixpunktsatz

Question

Wir definieren f: [0,∞) → [0,∞) durch f(x) = (x + 1/2) / (x + 1).

(a)
Mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes beweisen Sie, dass f einen Fixpunkt
x₀ mit x₀ > 0 hat. Die Voraussetzungen dieses Satzes müssen überprüft werden.

(b)

Berechnen Sie den Fixpunkt.

Comments

"Die Voraussetzungen dieses Satzes müssen überprüft werden."

Was hält dich davon ab? Kennst du die Voraussetzungen?

Answer 1

Berechne am besten zuerst den Fixpunkt:

f(x) = x  gibt  x = 0,5*√2 .   Betrachte also f auf dem kompakten Intervall  D = [ 0,1 ; 1 ] .

Eine Vor. ist nämlich: Definitionsbereich abgeschlossen.

Berechne dann für x,y aus D: 

| f(x) - f(y) | = |  (x + 1/2) / (x + 1) -  (y + 1/2) / (y + 1) |

= | 0,5x -  0,5y |  / |  (x+1)(y+1)|

= 0,5 * |x-y|  /   ((x+1)(y+1)) Nenner größer 1, also 

≤ 0,5 * |x-y|   Also ist 

| f(x) - f(y) | ≤ k * |x-y|  mit k=0,5 erfüllt.

Damit sind die Vor'en überprüft und es gibt einen

Fixpunkt in D .  (s.o.)