Dimension von Untervektorräumen

Question

 
ich habe gerade eine Aufgabe zu Untervektorräumen und soll die Dimension von Ihnen bestimmen. 
Die Aufgabe lautet:

Es seien die Untervektorräume

$${ U }_{ 1 }:=\left\{ \left( r,\quad ...\quad ,r \right) \in { R }^{ n }:r\in R \right\} $$
$${ U }_{ 2 }:=\left\{ \left( { r }_{ 1 },\quad ...\quad ,{ r }_{ n } \right) \in { R }^{ n }:\sum _{ i=1 }^{ n }{ { r }_{ i }=0 }  \right\} $$
des R^n gegeben. Bestimmen Sie:
$$dim{ U }_{ 1 }$$$$dim{ U }_{ 2 }$$$$dim\left( { U }_{ 1 }\bigcap { U } _{ 2 } \right) $$$$dim\left( { U }_{ 1 }{ +U }_{ 2 } \right) $$

Meine Überlegung war jetzt, U₁ hat ja immer die selbe Element da r keinen Index hat. 
Da U₁ ja nur ein Element hat müsste demnach dim U₁=1 sein
In U₂ sind ja n verschiedene Elemente, da es von r₁ bis r_n geht.
Und ich glaube, dass dann dimU₂=n ist, jedoch wurde uns im Tutorium gesagt, dass das die Dimension von U₂ etwas schwieriger zu bestimmen sei, deshalb wird das vermutlich nicht stimmen ... ^^ Vorallem wegen der Formel:
$$dim\left( { U }_{ 1 }+{ U }_{ 2 } \right) =dim{ U }_{ 1 }+dim{ U }_{ 2 }-dim\left( { U }_{ 1 }\bigcap { U } _{ 2 } \right) $$

Und ich glaube, dass die Dimension der Schnittmenge von U₁ und U₂ gleich der Dimension von U₁ sein dürfte.

Kann mir jemand zu dimU₂ einen Hinweis geben wenn er oder sie weiß wie man das bestimmt? :-)


Lipsen

Answer 1

Hallo Lipsen,

da stimmt so einiges nicht. 

1) \(U_1\) besteht nicht aus einem Element sondern aus unendlich vielen, nämlichen allen Vektoren des \(\mathbb{R}^n\) deren Koordinaten jeweils gleich sind (ersichtlich aus \(r \in \mathbb{R} \)). Insbesondere liegen sie alle auf einer (abstrakten) Geraden durch 0.

Eine Basis von \(U_1\) besteht somit aus 1 Element und deswegen ist die Dimension 1.

2) Die Dimension von \(U_2\) entspricht der Dimension des Lösungsraums der beschreibenden Gleichung. Wie viel Variablen hat die Gleichung? Wieviele davon kannst du unabhängig von einander frei festlegen? Da hast du deine Antwort. Am besten ist es wenn du noch eine Basis angeben kannst.

3) Der Schnitt von \(U_1\) und \(U_2\) besteht nur aus dem Nullvektor (bitte selbst überlegen wieso). 

Gruß