Dimension von Untervektorräumen (mit Kern und Bild)

Question

Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen:

$$\text{Es seien } U, V \text{ und } W \text{ } \mathbb{K}\text{ -Vektorräume und } f: U \rightarrow V \text{ und } g: V \rightarrow W \text{ zwei lineare Abbildungen. Zeigen Sie: }\\ \text{ a) }\operatorname{im}(f) \text{ ist ein Untervektorraum von V }\\ \text{ b) }\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(g \circ f))\\ \text{ c) } \operatorname{dim}(\operatorname{im}(g \circ f)) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{im}(g))$$

Leider weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll. Hätte einer eine Erklärung, vielleicht sogar mit Beweis dazu, für mich? ! :)

Comments

Zeige für b, c:

\( \ker f \subseteq \ker g \circ f \) und \( \operatorname{im} g \circ f \subseteq \operatorname{im} g \)

Nimm dir einfach einen Vektor aus der jeweils linken Menge und zeige, dass er auch in der rechten Menge liegt. Wenn du die Definition von "Kern" und "Bild" kennst, sollte das nicht wirklich schwer sein.

Answer 1

Bitte Fragen einzeln stellen!

(a)

 \(\operatorname{im} (f)\subseteq V\) nach Definition, weiter ist \(\operatorname{im} (f)\neq \emptyset\), denn \(U \ni 0\mapsto 0\in V\). (Lineare Abbildung bilden die Null immer auf die Null ab)

Zu zeigen: Für alle \(v_1,v_2\in \operatorname{im} (f)\) gilt \(v_1+v_2\in \operatorname{im}(f)\). Zu beliebigen Vektoren im Bild gibt es jeweils Urbilder in \(U\) ich bezeichne sie mit \(u_1,u_2\), dann gilt:$$ v_1+v_2=f(u_1)+f(u_2)=f(u_1+u_2)\in \operatorname{im}(f)$$ Analog zeigt man, dass für alle \(v_1\in \operatorname{im} (f)\) und \(r\in \mathbb{K}\) gilt, dass \(r\cdot v_1\in \operatorname{im} (f)\). (Bei Fragen, melden!)

(b)

Es gilt \(\ker f \subseteq \ker (g\circ f)\), daraus folgt \(\dim \ker (f)\leq \dim \ker (g\circ f)\). Die Inklusion zeigt man wie in (c).

(c)

Ist \(x\in \operatorname{im}(g\circ f)\), dann exisitiert ein \(y\in U\) mit \(x=((g\circ f)(y)=g(f(y))\in \operatorname{im}(g)\), d. h. es gilt \(\operatorname{im} g \circ f \subseteq \operatorname{im} g\) und damit \(\operatorname{dim}(\operatorname{im}(g \circ f)) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{im}(g))\)

Comments

Was ist mit b) und c)?

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Hab's nachgereicht, Chef!

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Okay, bei a) meinst du wahrscheinlich \( \textrm{im}(f) \) statt \( V \) und statt "Urbilder" meinst du wahrscheinlich "Elemente des Urbilds". Diese sind übrigens nicht notwendigerweise eindeutig, was aber wiederum für den Beweis auch nicht erwähnt werden muss.

Bei b) wäre interessant, wenn du begründest, warum \( \ker f \subseteq \ker (g\circ f) \) gilt.

Für b) und c) wäre zusätzlich interessant, wenn du explizit erklärst, warum \( \dim(A) \leq \dim(B) \) für \( A \subset B \) gilt.

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Für \(\ker f \subseteq \ker (g\circ f)\) schau dir mal an, wie ich \(\operatorname{im} g \circ f \subseteq \operatorname{im} g\) gezeigt habe.