Question

Wie lautet die Umkehrfunktion von x+e^x? rechnerisch ermittelt

Comments

Sollst du sie wirklich angeben oder nur nachweisen, dass sie existiert?

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Ich soll von der Umkehrung die Ableitung rechnerisch ermitteln. Dazu wäre die Umkehrfunktion nicht schlecht.

Existieren tut sie ja, weil sie monoton steigend ist, und kein Wendepunkt besitzt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Um die Umkehrfunktion explizit anzugeben, bräuchtest du die Lambertsche W-Funktion.

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Existieren tut sie ja, weil sie monoton steigend ist, und kein Wendepunkt besitzt.

Sie existiert, aber das sichert dir alleine noch nicht, dass du sie auch schön hinschreiben kannst - oder genauer: Es ist nicht gesagt, dass die Umkehrfunktion als Verkettung elementarer Funktionen darstellbar ist. Und das ist sie hier auch nicht. Die Ableitung hingegen schon.

Answer 1

Wenn es nur um die Ableitung der Umkehrfunktion geht, verwendest du die Umkehrregel$$(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{1+e^x}$$

Answer 2

Aloha :)

Hier ist eine Funktion \(f(x)=x+e^x\) gegeben. Ihre Umkehrfunktion nennen wir \(g(x)\), also \(g(x):=f^{-1}(x)\). Da hier nicht nach der Umkehrfunktion \(g(x)\), sondern nach ihrer Ableitung \(g'(x)\) gefragt ist, kannst du ausnutzen, dass die beiden Funktionen sich in ihrer Wirkung gegenseitig aufheben. Für alle \(x\) aus der Definitionsmenge gilt nämlich:$$f(\,g(x)\,)=x$$Da dies für alle \(x\) gilt, ist es eine Identität und wir können beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander ableiten. Auf der linken Seite verwenden wir dafür die Kettenregel:$$f'(\,g(x)\,)\cdot g'(x)=1$$Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch \(f'(\,g(x)\,)\) und können die Ableitung der Umkehrfunktion sofort ausrechnen:$$g'(x)=\frac{1}{f'(\,g(x)\,)}=\frac{1}{1+e^x}$$

Comments

Ist das wirklich die Antwort auf die Frage:

"Wie lautet die Umkehrfunktion von x+ex? rechnerisch ermittelt" ?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+x%2Be%5Ex

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Ich soll von der Umkehrung die Ableitung rechnerisch ermitteln. Dazu wäre die Umkehrfunktion nicht schlecht.

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Warum ist denn \(f^\prime\big(g(x)\big)=1+\mathrm e^x\) ?