Tut mir leid, dass ich gleich noch eine Frage habe, aber ich komme hier einfach nicht weiter:
Sei V={f ∈ ℝ[x]: deg(f) ≤ 3} und g(x) =2x+1. Und F: V→V , f→ (fg)'.
bestimmen Sie Dimension von dem Kern und von dem Bild.
Problem/Ansatz:
Da keine Basis gegeben war bin ich jetzt von B= {1, x, x 2 , x3 } ausgegangen und habe die Darstellungsmatrix aufgestellt.
F(1) = (2x+1)'= 2 = 2*1 + 0*x + 0*x2 + 0*x3
F(x)= (2x2 + x)' = 4x+1= 1*1 + 4*x + 0*x2 + 0*x3
F(x2 )= ( 2x3 + x2 )' = 6x2+2x= 0*1 + 2*x + 6*x2 + 0*x3
F(x3)= (2x4 + x 3)' = 8x3+3x2
Und damit sollte sich doch folgende Darstellungsmatrix ergeben:
MBB=\( \begin{pmatrix} 2 & 1& 0& 0 \\ 0 &4 & 2 &0 \\ 0 &0 & 6 &3 \\ 0 &0 & 0 &8 \end{pmatrix} \)
Da die Matrix ja offensichtlich vollen Rang hat müsste die Dimension des Bildes 4 sein und nach der Dimensionsformel würde daher die Dimension des Kerns 0 sein, da ja Dimension von V 4 ist. dim V= dim Kern + dimBild. ↔4=0+4. Aber wenn ich den Kern bestimme, erhalte ich einen Vektor, also ist die Dimension vom Kern doch 1. Kann mir bitte jemand helfen meinen Fehler zu finden? :)