bestimmen Sie Dimension von Kern und von Bild.

Question

Tut mir leid, dass ich gleich noch eine Frage habe, aber ich komme hier einfach nicht weiter:

Sei V={f ∈ ℝ[x]: deg(f) ≤ 3} und g(x) =2x+1. Und F: V→V , f→ (fg)'.

bestimmen Sie Dimension von dem Kern und von dem Bild.

Problem/Ansatz:

Da keine Basis gegeben war bin ich jetzt von B= {1, x, x ² , x³ } ausgegangen und habe die Darstellungsmatrix aufgestellt.

F(1) = (2x+1)'= 2 = 2*1 + 0*x + 0*x² + 0*x³

F(x)= (2x²  + x)' = 4x+1=  1*1 + 4*x + 0*x² + 0*x³

F(x² )= ( 2x³ + x² )' = 6x²+2x= 0*1 + 2*x + 6*x² + 0*x³

F(x³)= (2x⁴  + x ³)' = 8x³+3x²

Und damit sollte sich doch folgende Darstellungsmatrix ergeben:

M_B^B=\( \begin{pmatrix} 2 & 1& 0& 0 \\ 0 &4 & 2 &0 \\  0 &0 & 6 &3 \\  0 &0 & 0 &8 \end{pmatrix} \)

Da die Matrix ja offensichtlich vollen Rang hat müsste die Dimension des Bildes 4 sein und nach der Dimensionsformel würde daher die Dimension des Kerns 0 sein, da ja Dimension von V 4 ist. dim V= dim Kern + dimBild. ↔4=0+4. Aber wenn ich den Kern bestimme, erhalte ich einen Vektor, also ist die Dimension vom Kern doch 1. Kann mir bitte jemand helfen meinen Fehler zu finden? :)

Answer 1

Ich denke auch, dass du von der Standardbasis für \(\mathbb{R}[X]_3\) ausgehen darfst, also \(\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)\). Die Darstellungsmatrix ist gegeben durch \(_\mathcal{B}M(F)_\mathcal{B}=(_\mathcal{B}F(b_1), ..., _\mathcal{B}F(b_4))\) Das hast du auch alles richtig gemacht.

Die Darstellungsmatrix hat -- wie du richtig erkennst -- vollen Rang. Wenn du den Kern berechnest, solltest du nur \(v=(0,0,0,0)^T\) als Lösung für \(Av=0\) erhalten. Der Defekt der Matrix, also die Dimensions des Kerns, ist folglich \(0\). Du hast also einen trivialen Kern.

PS: Die Basis des Kerns wäre in diesem Fall übrigens die leere Menge!

Comments

Dankeschön!

Dann habe ich mich wohl einfach beim Kern verrechnet. :)

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