zu Abbildungen gehörigen Matrizen bestimmen

Question

man soll die zu den Abbildungen gehörigen Matrizen bestimmen

f1 ((x1, x2, x3)) = ((x1-x2, x2-x3, x3-x1) R^3 --> R^3

f2 ((x1, x2, x3)) = (-2x2, x3, 5x1) R^3 --> R^3

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Brauche Hilfe bei der Herangehensweise

f1 ((x1, x2, x3)) = ((x1-x2, x2-x3, x3-x1) R³ --> R³
man bestimme die zur Abbildung gehörige Matrix

Answer 1

Eine Abbildung kann verstanden werden als Ax=b, wobei A deine Abbildungsmatrix ist, x dein Vektor und b das was am Ende rauskommt. $$\begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \\ \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1-x_2\\ x_2-x_3\\ x_3-x_1\\ \end{pmatrix}$$
Jetzt mit Matrixmultiplikation weiss ich die erste Zeile von A mal den x-Vektor muss die erste Zeile von b ergeben. Also brauche ich in der Matrix folgende Einträge:$$\begin{pmatrix} 1& -1& 0\\ & & \\ & & \\ \end{pmatrix}$$
Die weiteren Einträge kannst du selber einmal probieren.

Comments

mir ist immer noch nicht ganz klar woher die 1 -1 0 kommen, stehe auf der Leitung. gibt es da eine bestimme herangehensweise?

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Nun, bist du mit Matrixmultiplikation vertraut? Sonst https://www.youtube.com/watch?v=iLgfkgscafQ noch mal kurz anschauen. Ab 1:27 wird der Algorithmus gezeigt.
Ich fülle mal die leere Matrix mit Variablen und dann schauen wir, was bei der Multiplikation rauskommt:
$$\begin{pmatrix}a &b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_1+bx_2+cx_3\\dx_1+ex_2+fx_3\\gx_1+hx_2+ix_3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1-x_2\\x_2-x_3\\x_3-x_1\\ \end{pmatrix}$$ Nun kannst du sehen, wenn du die beiden hinteren Matrizen zeilenweise betrachtest, dass z.B. in der ersten Zeile ax_1+bx_2+cx_3 =  x_1-x_2 gelten muss. Wenn wir auf der rechten Seite des gleich schauen, sehen wir dass wir das x_1 genau 1 mal brauchen, also muss a=1 sein, also können wir in der Matrix an der Position des a eine 1 eintragen. Das x_2 brauchen wir -1 mal, also b=-1, also bei b -1 eintragen. Das x_3 brauchen wir gar nicht, also c=0, also bei c eine 0 eintragen.
Hilft das?

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Vielen Dank, jetzt ist alles klar!