Wie löse ich solche Differentialgleichungen 2xyy´-y^2+x^2=0?

Question

1)  2xyy´-y²+x²=0 mit y(1)=-2
2)  y´=(x+y)² mit y(0)=1

3)  y´= e^x(1+y²)  mit y(0)=1
4) y´= y/x mit x,y größer 0 und y(1)=2
Leider weiß ich gar nicht, wie ich an die ganze Sache rangehen muss.

Vielen dank schon mal für die Hilfe!

Comments

$$2xyy'-y^2+x^2=0$$$$\frac{2xyy'-y^2}{x^2}=-1$$$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{y^2}x=-1.$$

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Danke dafür, aber ich weiß immer noch nicht, wie ich mit den anderen verfahre.

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$$y'=\frac yx$$$$\frac{y'}y=\frac1x$$$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\,\log y=\frac1x.$$

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Wie komme ich da noch auf die funktion?

ich dachte bei der (4) 
y´= y/x  → dy/y = dx/x → ∫dy 1/y =∫dx 1/x  → ln(y) = ln(x)

das hätte ich jetzt. weiß nur nicht, was das als endfunktion  ist .

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Du hast die Integrationskonstante vergessen. \(\log y=\log x\pmb{\color{blue}{+\,c}}\), also ist \(y(x)=a\cdot x\). Bestimme \(a\) so, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Answer 1

2)  y´=(x+y)² mit y(0)=1

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3)  y´= e^x(1+y²) 

dy/dx=e^x(1+y²) 

dy/(1+y^2) = e^x dx

arc tan(y)=  e^x+C

y=tan(e^x+c)

y(0)=1 -> c= π/4 -1

Lösung:

y=tan(e^x+(π/4) -1 )