Vektormenge Basis R3 bestimmen

Question

ich habe eine Frage und zwar muss ihc folgendes Bsp lösen:

Wie weiß cih dass diese eine Basis von R3 bilden ? Bitte um Hilfe , vielen Dank !

lg

Answer 1

a) ja. Das ist die Standardbasis

b)   d)   nein Vektoren sind nicht aus R^3

c) es ist der erste = 0,5* der zweite + der dritte, also sind sie

linear abhängig, also keine Basis.

es ist der 4.

= erster + 1/7 * zweiter + 1/3 * dritter, also

linear abhängig, also keine Basis.

Comments

Woher kommen die 0,5  1/7 und 1/3 ? Bitte um erklärung !

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Und wenn es R^n statt R^3, sind die Ergebnisse gleich?

Answer 2

Eine leichte Verständnisfrage. Unabhängig von dieser Aufgabe empfehle ich dir , in Wiki nachzusehen und den nachfolgenden Lehrsatz AUSWÄNDIG zu lernen.

   " Satz und Definition. Ein System von Vektoren heißt Basis, wenn eine der vier unten stehenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

   1) eindeutig                                Erzeugendes
   2) minimales                               Erzeugendes
   3)               linear unabhängiges Erzeugendes
   4) maximal linear Unabhängiges "


   bde) scheiden schon mal aus. Im falle b) hast du nur 2 Vektoren; schau bitte unter Ziffer 2) Ein Erzeugendes müsste mindestens DREI Vektoren umfassen.
   Andererseits widersprechen (de) Ziffer 4) Ein maximal linear Unabhängiges darf höchstens drei Vektoren umfassen; 4 sind immer linear abhängig.
  a) ist die kanonische Basis. Die Einheitsmatrix ist eine Dreiecksmatrix; ihre Determinante ist Eins.

   Matrix A in c) ist vom Rang 2 ; Zeile 1 und 2 sind nämlich gleich. Die Anzahl der Unbekannten ist n = 3 ; der Kern hat Dimension



     dim  (  K  )  =  n  -  rg  (  A  )  =  1  ===>  linear abhängig; keine Basis