Basis einer Vektormenge bestimmen

Question

Ich will eine Basis für folgende Vektoren finden:<{(4,1,1,0,-2),(0,1,4,-1,2),(4,3,9,-2,2),(1,2,3,4,5),(0-2,-8,2,-4)}>Von links v1=(4,1,1,0,-2) ... bis rechts v5=(0,-2,-8,2,-4)
Habe durch folgende Schritte 2 Vektoren entfernen können:2*v2+v5v1-v2v1-v4
Jetzt bleiben noch:(4,3,9,-2,2),(1,2,3,4,5),(0,-2,-8,2,-4)
Diese Vektoren sind linear unabhängig, da es laut Wolfram Alpha nur die Lösung 0 gebe.Wie weise ich die Unabhängigkeit nach?Könnte ich eine 5x3 Matrix in Stufenform bringen? Welche Möglichkeit habe ich noch
Dank im Voraus

Answer 1

Wie weise ich die Unabhängigkeit nach?Könnte ich eine 5x3 Matrix in Stufenform bringen?

Genau, und dann wirst du das Ergebnis von wolframalpha bestätigen.

Welche Möglichkeit habe ich noch

Könntest auch so argumentieren:

Es sind alle Vektoren ungleich 0-Vektor und

keiner ist ein Vielfaches eines anderen.

Außerdem ( aber dazu müsste man wohl etwas rechnen)

läßt sich keiner durch die jeweils anderen beiden darstellen.

Also sind sie lin. unabh.

Comments

Habe die 5x3 Matrix umgeformt:

Es kommt Folgendes raus:

(4,0,0,0,0)(1,5,0,0,0)(0,-8,-34,0,0)

Die 2 untersten Zeilen ganz in 0. Also unendlich viele Lösungen?

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Ich könnte auch so argumentieren:Die 5 anfänglichen Vektoren hatte ich in Stufenform gebracht. Dessen Rang beträgt 3.Da Rang und Dimension gleich sind, folgt daraus, dass diese 3 Vektoren linear unabhängig sind