erste Ableitung stetig differenzierbare Funktion

Question

Gegeben sind $$ f\left( x \right) :(0,\infty )\rightarrow R\quad g\left( x \right) :\quad R\rightarrow R $$ wobei f und g stetig differentierbare Funktionen sind.

Es soll die erste Ableitung der Funktion $$ F:\quad R\rightarrow R\quad mit\quad F(x):\quad {f(x)}^{ g(x) } $$ gebildet werden. Für alle z>0 gilt z = e^ln(x).

Kann mir hier jemand Helfen?

Answer 1

also  sei  F(x)= y dann

y = f(x)^g(x) 

ln(y) = g(x) * ln ( f(x) )

y = e ^{g(x) * ln ( f(x) )}  = F(x)

Produkt - und Kettenregel:

also F ' (x) = e ^{g(x) * ln ( f(x) )} * ( g ' (x) * ln ( f(x) )  + g (x) * 1/f(x) * f ' (x)

=  f(x)^g(x) * ( g ' (x) * ln ( f(x) )  + g (x) * f ' (x) / /f(x) )