Fläche zwischen den Funktionen berechnen

Question

Bitte um Hilfe !!

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen f und g im Intervall zwischen den reellwertigen Schnittpunkten beider Funktionen:

f(x)=ln(x)

g(x)=(ln(x))^2

Answer 1

1. Schnittpunkte berechnen

ln(x) = ln^2(x)

ln(x) - ln^2(x) =0

ln(x)( 1 -ln(x)=0

Satz vom Nullprodukt

1.ln(x)=0

x=1

2.1 -ln(x)=0

x=e

2. Fläche

---------->

=Int (von 1 bis e ) (ln(x) -ln^2(x) )dx = -x(ln^2(x) -3 ln(x)+3) ≈0.28 (3 -e)

Comments

Wie integriere ich das? Das verstehe ich nicht.

---

Du mußt beide Integrale getrennt integrieren

1. Integral  int (1*ln(x)) dx ->1 Mal partlell integrieren

2. Integral ln^2(x) dx ->2  Mal partlell integrieren

Answer 2

~plot~ln(x); ln(x)^2~plot~

ln(x) = ln(x)^2

ln(x) - ln(x)^2= 0

ln(x) * ( 1 - ln(x) ) = 0

ln(x) = 0 oder ln(x) = 1

x = 1 oder  x=e   also Fläche=

$$ \int_{1}^{e} ( ln(x) - ln(x)^2 ) $$

Stammfunktion ist

- x * ( ln(x)^2 - 3 ln(x) + 3 ) + C

also Integral = 3 - e