reihen und l'hospital

Question

Berechnen Sie : lim x→π/2   (2x-π)² tan²x

2)  Für welche x ∈ℝ konvergiert ∑∞ k=o (2x-x^2-1)^k und wie lautet der Grenzwert.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

lim x→π/2   (2x-π)² tan²x

ist vom Typ 0*∞  Um Hospital anwenden zu können umschreiben

auf    (2x-π)²    / ( 1/  tan²x )    jetzt Typ  0/0

also einzeln ableiten gibt

4*(2x-pi)   /  ( -2 cos(x) / sin(x)^3 )    immer noch Typ  0/0, also nochmal

8 / ( ( 4 cos(x)^2 + 2 ) / sin(x)^4 )

= ( 8 * sin(x)^4 ) /  ( 4 cos(x)^2 + 2 )

Zähler gegen 8 Nenner gegen 2 also Grenzwert 4

Passt zum Graphen:

~plot~(2*x-pi)^2*tan(x)^2~plot~

Comments

b) Reihe konvergiert für    | 2x-x^2 -1 | < 1

das ist für x aus ] 0;2[

und der Grenzwert ist dann ( geom. Reihe

1 / ( 1 - ( 2x - x^2 - 1 )

= 1 / ( 1 -  2x  + x^2   + 1 )

= 1 / ( 2 -  2x  + x^2 )

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Danke für die schnelle Hilfe !! ✌️