Definitionsbereich und erste Ableitung der Funktionen bestimmen

Question

(a) Seien \( f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) und \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetige, differenzierbare Funktionen. Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion \( F: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) mit \( \quad F(x):=f(x)^{g(x)} \).

(Hinweis: Für alle \( z>0 \) gilt \( \left.z=e^{\ln (z)} .\right) \)

(b) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

\( f(x)=5^{2 x^{2}-1} \quad, \quad g(x)=\left(4 x^{2}-1\right)^{\sin (x)} \quad, \quad h(x)=(5 x+1)^{\ln \left(-x^{2}+2 x+3\right)} \)

Answer 1

Zu b):

Die Tricks, die bei all diesen Aufgaben helfen, sind:

$$ e^{ln(x)}=x \\ e^{ln(x^a)}=e^{a\cdot ln(x)}$$ Ich werde dir f(x) und den Definitionsbereich von h(x) (der hat noch seine Tücken) ausführlich vorlösen:

Definitionsbereich von f(x):

$$ 5^{2x^2-1}=e^{ln(5^{2x^2-1})}=e^{(2x^2-1)ln(5)} $$ Nun ist die e-Funktion auf ganz ℝ definiert, d.h. du kannst für x einen beliebigen Wert aus ℝ einsetzen, also Definitionsbereich = ℝ.

Für die Ableitung machen wir gleich oben weiter und wenden die Kettenregel an: 

$$ 5^{2x^2-1}=e^{ln(5^{2x^2-1})}=e^{(2x^2-1)ln(5)}=e^{(2x^2-1)ln(5)}\cdot((2x^2-1)ln(5))'=e^{(2x^2-1)ln(5)}\cdot(2x^2ln(5)-ln(5))'=5^{2x^2-1}\cdot 4xln(5) $$ Dabei haben wir im letzten Schritt den e-hoch-Term wieder vereinfacht, resp. den Prozess den wir ganz am Anfang gemacht haben, sind wir wieder rückwärts gegangen.

Nun zum Definitionsbereich von h(x), hier gilt wieder:

$$ (5x+1)^{ln(-x^2+2x+3)}=e^{ln\left((5x+1)^{ln(-x^2+2x+3)}\right)}=e^{ln(-x^2+2x+3)\cdot ln(5x+1)}$$ Jetzt ist die ln-Funktion nur für x in ℝ, x>0 definiert, also müssen wir sicherstellen, dass die Werte in den ln's nicht kleiner oder gleich 0 werden. Das gibt uns die folgenden beiden Ungleichungen:

$$5x+1>0 \Rightarrow x>-\frac{1}{5}$$

$$-x^2+2x+3>0 \Leftrightarrow (-x-1)(x-3)>0 \Rightarrow (x<-1\land x>3)\lor (x>-1\land x<3)$$ Nun haben wir etwas viele Bedingungen für den Definitionsbereich, wenn man sich nun die 1.Kombination der 2.Ungleichung genauer anschaut, sieht man dort x<-1, das steht jedoch im Widerspruch zu x>-1/5. D.h. diese Kombination können wir rausschmeissen. Es bleiben nur noch drei Bedingungen und die ergeben zusammen D: -1/5<x<3. 

Die Lösungen zu solchen Aufgaben findest du sonst auch bei WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284x%5E2-1%29%5E%28sin%28x%29%29. Wenn du nur den Definitionsbereich willst, kannst du einfach deine Funktion und das Wort domain eingeben.

Answer 2

F(x) = f(x)^{g[x]} = EXP(LN( f(x)^{g[x]} )) = EXP(g[x] * LN(f(x)))

F'(x) = EXP(g[x] * LN(f(x))) * (g'(x) * LN(f(x)) + g(x) * 1/f(x) * f'(x))

F'(x) = f(x)^{g[x]} * (g'(x) * LN(f(x)) + g(x) * f'(x)/f(x))

f(x) = 5^{2x^2-1}

f'(x) = 4·5^{2·x^2 - 1}·x·LN(5)

g(x) = (4·x^2 - 1)^{SIN[x]}

g'(x) = (4·x^2 - 1)^{SIN[x]} * (COS(x) * LN(4·x^2 - 1) + SIN(x) * (8·x)/(4·x^2 - 1))

Die letzte Funktion darfst du mal selber probieren. Nutze Wolframalpha um dein Ergebnis zu kontrollieren.