Folgendes soll getan werden: f: R→R ist eine stetige Funktion und zeige, dass f ein Maximum besitzt.

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und suche daher um Hilfe, um einen Lösungsweg.

f: ℝ→ℝ ist eine stetige Funktion mit den Eigenschaften:

f (x) ≥ 0 für alle x ∈ ℝ    und    lim x → ∞ f ( x) = lim x → - ∞ f (x) = 0

Nun soll gezeigt werden, dass d ein Maximum besitzt. Danke für die Hilfe.

Liebe Grüße

Comments

kann mir bitte einer hierbei helfen?

Sei f: ℝ→ℝ eine stetige Funktion mit den Eigenschaften:  f(x)≥0 für alle x ∈R und lim x→∞ f(x)= lim x→−∞ f(x)=0.

Zeigen Sie, dass f ein Maximum besitzt.

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wie ermittelt man nun das Maximum ohne den Satz von Weierstrass

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Gar nicht. Deshalb kommt der Satz auch in absolut jeder Analysis-I-Vorlesung dran.

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Auch nicht mit dem Zwischenwertsatz?

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Nein, der ist in diesem Zusammenhang voellig unbrauchbar. Du brauchst den Satz, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen ein Maximum (und ein Minimum) annehmen.

https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_5563/daten/auto/part_3/node37.htm

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Du hast geschrieben, "Wende dann den Satz von Weierstrass auf [−R,R]an. Kannst du das bitte noch vollenden?

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Der Satz von Weierstrass garantiert die Existenz eines \(\xi\in[-R,R]\) mit \(f(x)\le f(\xi)\) für alle \(x\in[-R,R]\). Folgere noch \(f(x)\le f(\xi)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) und die Aufgabe ist geloest.

Answer 1

Sagen wir \(f(a)>0\). Waehle dann \(R>0\) so, dass \(a\in[-R,R]\) und \(f(x)<f(a)\) für \(|x|>R\). Wende dann den Satz von Weierstrass auf \([-R,R]\) an.

Comments

Ich kenne den Satz von Weierstrass nicht und wir dürfen diesen auch nicht anwenden.

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Das ist der ueber Minima und Maxima von stetigen Funktionen auf kompakten Intervallen. Selbst wenn man den unter diesem Namen nicht kennt, mag es ein zumutbarer Aufwand sein, mal bei Google oder Wikipedia vorbeizuschauen.

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Kann mir bitte wer eine ausführliche Lösung nennen?

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An welcher Stelle scheiterst Du denn bei der Durchfuerung des angegebenen Programms?

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Ich würde auch gerne wissen, wie es geht